第6回（第4〜7問）のうち、差がつく4か所だけを短い動画にまとめました。 各問の全体の解説は、下のリンク先の記事にあります。
第6回（第4〜7問）のうち、定番の計算ではなく式の見方・言いかえで差がつく4か所だけを集めました。 解き終わったあとの見直しや、試験直前の確認に使ってください。
この記事で扱う4か所
① 第4問(3) 連立漸化式は和と差で2本に分け、積の大小は共通の項を除いて比べる（ク〜テ）
② 第5問(2) 確率密度関数の \(a,\ b\) を全体の積分と平均の積分で決め、割合を面積で出す（カ〜ソ）
③ 第6問 平面上の点は係数の和が1。係数の和に注目して \(k\) を一行で出し、垂線の足は重心（コ〜タ）
④ 第7問〔2〕 \(z_k^{\,m}=z_k\) を偏角で言いかえる（カ〜ケ）
第4問(1)(2) の等比数列、第5問(1) の信頼区間の幅、第6問の内積から \(s,\ t,\ u\) を出すところ、第7問〔1〕の極方程式は定番の処理なので、ここでは省きます。
① 連立漸化式は和と差で（第4問・ク〜テ）
\(c_{n+1}=3c_n+2d_n-2\)、\(d_{n+1}=2c_n+3d_n-2\) を足すと、\(c_n,\ d_n\) の係数がどちらも5になります。定数も2つ分足して \(-4\) です。
\[A_{n+1}=5A_n-4\]
\[A_{n+1}-1=5(A_n-1),\quad A_1-1=4\]
\[A_n=4\times5^{n-1}+1\]
（ク＝5、ケ＝4、コ＝4、サ＝5、シ＝⓪、ス＝1）
引くと定数が消えて \(B_{n+1}=B_n\)、つまり \(B_n=B_1=1\)（セ＝1）。和と差を足して2で割ると
\[c_n=\frac{A_n+B_n}{2}=2\times5^{n-1}+1\]
（ソ＝2、タ＝5、チ＝⓪、ツ＝1）
\(d_n=2\times5^{n-1}\)。積を展開すると、どちらにも \(4\cdot15^{n-1}\) が出てきます。
\[a_nc_n=4\cdot15^{n-1}+2\cdot3^{n-1}\]
\[b_nd_n=4\cdot15^{n-1}+2\cdot5^{n-1}\]
共通の項を除いて残りだけを比べると
\[b_nd_n-a_nc_n=2\left(5^{n-1}-3^{n-1}\right)\]
\(n\ge2\) で正なので \(b_nd_n\) の方が大きい（テ＝①）
② 確率密度関数は条件2つで（第5問・カ〜ソ）
\(f(x)=ax+b\)（\(1\le x\le11\)）。条件は全体の確率が1と平均が4.5の2つです。
\[\int_1^{11}(ax+b)\,dx=60a+10b=1\]
平均は \(f(x)\) の積分ではなく、\(x f(x)\) の積分です。
\[\int_1^{11}x(ax+b)\,dx\]
\[=\frac{1330}{3}a+60b=4.5\]
1つ目から \(60b=6-360a\) を入れて \(\dfrac{250}{3}a=-1.5\)。
\[a=-0.018,\quad b=0.208\]
（オ＝1、カキ＝60、クケ＝10、コサ＝18、シスセ＝208）
5分以上の割合は、5から11までの面積です。
\[\int_5^{11}f(x)\,dx\]
\[=-0.018\times48+6\times0.208=0.384\]
約 38%（ソ＝③）
③ 係数の和で k、垂線の足は重心（第6問・コ〜タ）
\(s=t=\dfrac12\)、\(\angle\mathrm{COP}\) が鈍角なので \(u=-\dfrac{\sqrt2}{2}\)。平面 \(\alpha\) 上の点 \(\mathrm{A'}\) は
\[\overrightarrow{\mathrm{OA'}}=x\vec{p}+y\vec{q}+z\vec{r},\quad x+y+z=1\]
\(\vec{p},\ \vec{q},\ \vec{r}\) の係数は、どれも \(s,\ t,\ u\) の並べかえです。\(\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}\) の係数を全部足すと、係数の和どうしの積になります。
\[k+0+0=(x+y+z)(s+t+u)\]
\[k=s+t+u=\frac{2-\sqrt2}{2}\]
（コ＝2、サ＝2、シ＝2）
連立方程式を正面から解く必要はありません。同じ理由で \(\mathrm{OB'}=\mathrm{OC'}=k\) です。
\(\triangle\mathrm{A'B'C'}\) の重心を G とすると
\[\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{k}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\]
\[\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{A'B'}}=\frac{k^2}{3}\left(|\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2\right)=0\]
（ス＝0）。\(\mathrm{A'C'}\) とも垂直なので、垂線の足 H は G と一致します。
\[\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{2-\sqrt2}{6}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\]
（セ＝2、ソ＝2、タ＝6）
④ zₖᵐ＝zₖ は偏角で言いかえる（第7問・カ〜ケ）
\(z_k\ne0\) なので、両辺を \(z_k\) で割れます。
\[z_k^{\,m}=z_k\iff z_k^{\,m-1}=1\]
\(\arg z_k=\dfrac{k}{6}\pi\) なので、\((m-1)k\) が12の倍数になることです。「\(z_k^{\,m}=1\)」と読むと全部ずれます。
- \(k=2\)：\(2(m-1)\) が12の倍数 → \(m-1=6\)、\(M=7\)（カ＝7）
- \(M=3\)：\(2k\) が12の倍数 → \(k=6\)（キ＝6）
正方形は点が4つ、つまり最小の \(m-1\) が4のときです。\(4k\) が12の倍数で、\(2k\) は12の倍数でない \(k\) です。
\(k=3,\ 9\)（ク＝3、ケ＝9）
要点まとめ
- 連立漸化式は和と差。和では定数も2つ分。積の大小は共通の項を除いて比べる。
- 確率密度関数は「全体の積分＝1」と「平均＝\(\int x f(x)\,dx\)」で \(a,\ b\)。割合は面積。
- 平面上の点は係数の和が1。係数の和に注目すると \(k=s+t+u\)、垂線の足は重心。
- \(z_k^{\,m}=z_k\iff z_k^{\,m-1}=1\)、つまり \((m-1)k\) が12の倍数。
