この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(9x^2+4y^2=16\) は、右辺を 1 にすると楕円 \(\dfrac{x^2}{\frac{16}{9}}+\dfrac{y^2}{4}=1\)。 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) と見比べて\(x=\dfrac43\cos\theta,\ y=2\sin\theta\) とおくと、楕円上の最大・最小は三角関数の問題になります。
この回で扱う問題
\(x,\ y\) は実数とする。\(9x^2+4y^2=16\) のとき、\(x\) の最大値は ア、\(2x+y^2\) の最大値は イ、\(2x+y\) の最大値は ウ である。
（大同大）
方針 ― 楕円の形にして、媒介変数へ
両辺を 16 で割ると
\[\frac{x^2}{\frac{16}{9}}+\frac{y^2}{4}=1\]
これを \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) と見比べると
\[\frac{x}{\frac43}=\cos\theta,\qquad \frac{y}{2}=\sin\theta\]
\[x=\frac43\cos\theta,\quad y=2\sin\theta\]
\((0\le\theta\lt 2\pi)\)
こうおけば、\(x,\ y\) の式はすべて \(\theta\) の三角関数になります。
ア ― x の最大
\(-1\le\cos\theta\le1\) より \(-\dfrac43\le x\le\dfrac43\)。
ア：\(\dfrac43\)
イ ― 2x ＋ y² は y² を消す
\(y^2=\dfrac14(16-9x^2)\) を代入すると、\(x\) だけの2次関数になります。
\[2x+y^2=2x+\frac14(16-9x^2)\]
\[=-\frac94\left(x-\frac49\right)^2+\frac{40}{9}\]
頂点の \(x=\dfrac49\) は \(-\dfrac43\le x\le\dfrac43\) の中にあるので、最大値は \(\dfrac{40}{9}\)。
（媒介変数で書いても \(2x+y^2=-4\left(\cos\theta-\dfrac13\right)^2+\dfrac{40}{9}\) となり、\(\cos\theta=\dfrac13\) のとき最大。同じ答えです。）
イ：\(\dfrac{40}{9}\)
ウ ― 2x ＋ y は三角関数の合成
\[2x+y=\frac83\cos\theta+2\sin\theta=\frac{10}{3}\sin(\theta+\gamma)\]
（\(\sin\gamma=\dfrac45,\ \cos\gamma=\dfrac35\)）。振幅は \(\sqrt{\left(\dfrac83\right)^2+2^2}=\sqrt{\dfrac{100}{9}}=\dfrac{10}{3}\) なので、最大値は \(\dfrac{10}{3}\)。
ウ：\(\dfrac{10}{3}\)
別解：2x ＋ y ＝ k とおいて判別式
\(2x+y=k\) とおき、\(y=k-2x\) を \(9x^2+4y^2=16\) に代入すると
\[25x^2-16kx+4k^2-16=0\]
直線 \(2x+y=k\) と楕円が共有点をもつ範囲で、\(k\) が最大になるのは接するとき。
\[\frac{D}{4}=(-8k)^2-25(4k^2-16)\]
\[=-36k^2+400=0\]
\(k^2=\dfrac{100}{9}\)、最大なので \(k=\dfrac{10}{3}\)。
参考：双曲線の媒介変数表示（板書より）
双曲線では \(1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\)、つまり \(\dfrac{1}{\cos^2\theta}-\tan^2\theta=1\) を使います。
\[\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\]
\[x=\frac{2}{\cos\theta},\quad y=3\tan\theta\]
つまずきポイント
- イで \(x\) の範囲を確かめない。 \(-\dfrac43\le x\le\dfrac43\) に頂点 \(x=\dfrac49\) が入っているかを必ず見る。
- \(x=\cos\theta\) とおいてしまう。 楕円の横の長さ \(\dfrac43\) をかけて \(x=\dfrac43\cos\theta\)。
- 判別式で \(k=\pm\dfrac{10}{3}\) のどちらか迷う。 最大は \(+\dfrac{10}{3}\)、最小が \(-\dfrac{10}{3}\)。
要点まとめ
- 楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) は \(x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta\) とおける。
- \(y^2\) だけなら代入して2次関数、1次式 \(px+qy\) なら三角関数の合成（または \(=k\) とおいて判別式）。
- 答え：ア \(\dfrac43\)、イ \(\dfrac{40}{9}\)、ウ \(\dfrac{10}{3}\)。
