この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(\alpha^3-3\alpha^2\beta+3\alpha\beta^2-\beta^3\) は \((\alpha-\beta)^3\)。等式を3乗の形にまとめると、\(\dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\beta}\) の3乗が \(-8\) とわかります。 この比は「B を中心に、C を A に動かす」式。\(1\pm\sqrt3\,i=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}\pm\cdots\right)\) から、長さの倍率 2、回転 \(\dfrac{\pi}{3}\) と読んで三角形の形を決めます。
この回で扱う問題
互いに異なる3つの複素数 \(\alpha,\ \beta,\ \gamma\) の間に、等式
\[\alpha^3-3\alpha^2\beta+3\alpha\beta^2-\beta^3\]\[=8\left(\beta^3-3\beta^2\gamma+3\beta\gamma^2-\gamma^3\right)\]
が成り立つとする。
(1) \(\dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\beta}\) を求めよ。
(2) 3点 \(\alpha,\ \beta,\ \gamma\) が同一直線上にないとき、それらを頂点とする三角形はどのような三角形か。
（神戸大）
方針 ― 移動後 − 中心 ／ 移動前 − 中心
板書のまとめの式です。
\[\frac{\text{（移動後）}-\text{（中心）}}{\text{（移動前）}-\text{（中心）}}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\]
- \(r\)：長さの倍率、\(\theta\)：回転の角。
- \(\dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\beta}\) は B が中心、C（移動前）を A（移動後）に動かす式。
(1) 3乗の形にそろえる
左辺は \((\alpha-\beta)^3\)、右辺のかっこは \((\beta-\gamma)^3\) です。
\[(\alpha-\beta)^3=8(\beta-\gamma)^3=-8(\gamma-\beta)^3\]
分子と分母に合わせるため、\(\beta-\gamma\) を \(-(\gamma-\beta)\) にするのがポイント。\(\gamma\ne\beta\) なので両辺を \((\gamma-\beta)^3\) で割ると
\[\left(\frac{\alpha-\beta}{\gamma-\beta}\right)^3=-8\]
\(z=\dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\beta}\) とおくと \(z^3+8=0\)。
\[(z+2)(z^2-2z+4)=0\]
\[\frac{\alpha-\beta}{\gamma-\beta}=-2,\ \ 1\pm\sqrt3\,i\]
3乗して \(-8\) になる数は3つ。\(-2\) だけで終わらないように注意します。
(2) 一直線上にない → 虚数の解
3点が同一直線上にないので、\(\dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\beta}\) は実数ではありません（【143】）。よって \(-2\) は不適で
\[\frac{\alpha-\beta}{\gamma-\beta}=1\pm\sqrt3\,i\]
\[=2\left\{\cos\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)\right\}\]
（複号同順）。絶対値と偏角を読むと
\[\left|\frac{\alpha-\beta}{\gamma-\beta}\right|=2,\quad \arg\frac{\alpha-\beta}{\gamma-\beta}=\pm\frac{\pi}{3}\]
つまり BA ＝ 2BC、\(\angle\mathrm{CBA}=\dfrac{\pi}{3}\)。
BC を 1 とすると BA ＝ 2、間の角 60° なので、余弦定理で \(\mathrm{CA}^2=1+4-2\cdot1\cdot2\cdot\dfrac12=3\)。\(\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2=\mathrm{BA}^2\) が成り立ちます。
\(\angle\mathrm{C}=\dfrac{\pi}{2}\)、BA : BC ＝ 2 : 1 の直角三角形
つまずきポイント
- \((\beta-\gamma)^3\) のまま割る。 分母は \(\gamma-\beta\)。\((\beta-\gamma)^3=-(\gamma-\beta)^3\) で符号が変わり、右辺は \(-8\)。
- \(z^3=-8\) の解を \(-2\) だけにする。 因数分解して3つとも出す。
- どの点が中心かを取り違える。 分子・分母の両方から引いている \(\beta\) が中心。角は \(\angle\mathrm{CBA}\)。
要点まとめ
- \(\dfrac{\text{移動後}-\text{中心}}{\text{移動前}-\text{中心}}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)：\(r\) は長さの倍率、\(\theta\) は回転。
- 3乗の展開形を見たら \((\alpha-\beta)^3\) にまとめ、\(\beta-\gamma=-(\gamma-\beta)\) で向きをそろえる。
- \(z^3=-8\) の解は \(-2,\ 1\pm\sqrt3\,i\)。一直線上にないので虚数の方。
- 倍率 2・回転 \(\dfrac{\pi}{3}\) → \(\angle\mathrm{C}=\dfrac{\pi}{2}\) の直角三角形。
