この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(y\) 軸のまわりに回すときは、半径が \(x\)、積分は \(dy\) です。 だから曲線の式を \(x=(\,y\text{ の式}\,)\) に直してから \(\pi\int x^2dy\)。 直線の部分は円すいなので、公式で引き算します。
この回で扱う問題
座標平面上の曲線 \(C:\ y=\sqrt{x}\ (x\ge 0)\) 上の点 \((1,\ 1)\) における接線を \(\ell\) とすると、 直線 \(\ell\) の方程式は \(y=\fbox{ア}\) であり、曲線 \(C\)、直線 \(\ell\) および \(y\) 軸で囲まれた図形を \(y\) 軸のまわりに1回転してできる立体の体積は \(\fbox{イ}\) である。
（成蹊大）
ア 接線の方程式
\(f(x)=\sqrt{x}\) とおくと \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)、\(f'(1)=\dfrac12\)。
\[y-1=\frac12(x-1)\]
ア \(\dfrac12x+\dfrac12\)
イ y 軸のまわりの回転体
図形は \(y\) 軸、接線 \(\ell\)（\(y\) 切片 \(\frac12\)）、曲線 \(C\) で囲まれた部分です。 \(y\) 軸のまわりに回すと
- 曲線 \(C\) を回した立体（\(0\le y\le 1\)）から
- 接線 \(\ell\) を回した円すい（底面の半径 \(1\)、高さ \(1-\frac12=\frac12\)）を引いたもの
になります。\(y=\sqrt{x}\) より \(x=y^2\)。半径は \(x\) なので
\[V=\pi\int_0^1(y^2)^2dy-\frac13\pi\cdot 1^2\cdot\frac12\]
\[=\pi\left[\frac{y^5}{5}\right]_0^1-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{6}\]
イ \(\dfrac{\pi}{30}\)
つまずきポイント
- \(y\) 軸回転なのに \(\pi\int y^2dx\) と書く。 回す軸に垂直に切ると、断面の半径は \(x\)。積分は \(dy\) です。
- \(x\) を \(y\) で表し忘れる。 \(dy\) で積分するので、中身は \(y\) の式に。\(x=y^2\) で \(x^2=y^4\)。
- 円すいの部分まで積分しようとして手間取る。 直線の回転は円すい。\(\frac13\pi r^2h\) で済ませます。
要点まとめ
- \(y\) 軸のまわり → 半径は \(x\)、\(\pi\int x^2dy\)。
- 曲線の式は \(x=(\,y\text{ の式}\,)\) に直してから使う。
- 直線を回した部分は円すい。公式で足し引きする。
