この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
媒介変数の問題は、まず文字 \(t\) を消す。sin と cos の式なら \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) が使えるように 2 乗します。 \(t\) に範囲があるときは、合成して \(x\) の範囲を出し、曲線のどの部分を描くかを決めます。
この回で扱う問題
(1) \(x=\cos t-\sin t,\ y=\sin t\cos t\) であるとき、\(t\) を消去して \(y\) を \(x\) で表せ。
(2) \(x=\cos t-\sin t,\ y=\sin t\cos t\) において、\(t\) の値が \(0\le t\le\dfrac34\pi\) の範囲を動くにつれて、\(x,\ y\) を座標にもつ点 P\((x,\ y)\) はどんな曲線を描くか。
（東京理科大）
方針 ― 媒介変数の文字を消す
- \(x\) を 2 乗すると \(\sin^2t+\cos^2t=1\) が出て、残りが \(\sin t\cos t=y\) になる。
- (2) は \(x=\cos t-\sin t\) を合成して、\(t\) の範囲から \(x\) の範囲を出す。
(1) t を消去
\[x^2=(\cos t-\sin t)^2\]
\[=1-2\sin t\cos t\]
\(\sin t\cos t=y\) なので \(x^2=1-2y\)。\(y\) について解くと
\(y=-\dfrac12x^2+\dfrac12\)
(2) x の範囲
(1) より点 P は放物線 \(y=-\dfrac12x^2+\dfrac12\) 上にあります。次に \(x\) が動く範囲を調べます。
\[x=\cos t-\sin t=\sqrt2\sin\left(t+\frac34\pi\right)\]
\(0\le t\le\dfrac34\pi\) の各辺に \(\dfrac34\pi\) を足して（不等式の拡張）
\[\frac34\pi\le t+\frac34\pi\le\frac32\pi\]
この範囲で
\[-1\le\sin\left(t+\frac34\pi\right)\le\frac{1}{\sqrt2}\]
\(\sqrt2\) を掛けて
\[-\sqrt2\le x\le1\]
放物線 \(y=-\dfrac12x^2+\dfrac12\) の \(-\sqrt2\le x\le1\) の部分
つまずきポイント
- \(t\) を直接解いて消そうとする。 2 乗して \(\sin^2t+\cos^2t=1\) を作るのが近道です。
- (2) で放物線全体を答える。 \(t\) に範囲があれば、必ず \(x\) の範囲を調べます。
- 合成した角の範囲を \(0\) 〜 \(\dfrac34\pi\) のままにする。 各辺に \(\dfrac34\pi\) を足してから sin の値を読みます。
要点まとめ
- 媒介変数の消去 → \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) の利用。
- \(x\) の範囲 → 合成 → 角の範囲（不等式の拡張）→ sin の範囲。
- 答えは「曲線の式」と「\(x\) の範囲」をセットで。
