数学Ⅲα【159】xy＝1の接線を求め、△OPQの面積はたすきがけの公式でaによらず一定

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

接線は接点 \(\left(t,\ \dfrac1t\right)\) をおいて、通る点 \((0,\ a)\) の条件から \(t\) を決めます。 交点 P、Q は連立して解の公式。原点と 2 点でできる三角形の面積は \(S=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|\)（たすきがけの差）。計算すると \(a\) が消えて一定になります。

この回で扱う問題

方針 ― 面積とくれば

• \(xy=1\) は \(y=\dfrac1x\)。接線は接点をおいて作る。
• P、Q の \(x\) 座標は \(xy=-1\) と \(\ell\) の連立 → 解の公式。
• 原点 O と 2 点 \((x_1,\ y_1)\)、\((x_2,\ y_2)\) の三角形の面積は \(S=\dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|\)。

(1) 接線 ℓ

\(y=\dfrac1x\) より \(y'=-\dfrac{1}{x^2}\)。接点を \(\left(t,\ \dfrac1t\right)\) とおくと、接線は

\[y-\frac1t=-\frac{1}{t^2}(x-t)\]

点 \((0,\ a)\) を通るので

\[a-\frac1t=-\frac{1}{t^2}(0-t)\]

\[a=\frac2t\]

\(a\neq0\) なので \(t=\dfrac2a\)。これを代入して整理すると

(2) P、Q の座標

\(\ell\) の式を \(xy=-1\) に代入します。

\[x\left(-\frac{a^2}{4}x+a\right)=-1\]

両辺に \(-4\) を掛けて整理すると

\[a^2x^2-4ax-4=0\]

\(a\gt 0\) なのでこれは \(x\) の 2次方程式。解の公式より

\[x=\frac{2a\pm\sqrt{4a^2+4a^2}}{a^2}\]

\[=\frac{2\pm2\sqrt2}{a}\]

P、Q は \(xy=-1\) 上の点なので、\(y=-\dfrac1x\) から

\[\mathrm{P}\left(\frac{2+2\sqrt2}{a},\ -\frac{a}{2+2\sqrt2}\right)\]

\[\mathrm{Q}\left(\frac{2-2\sqrt2}{a},\ -\frac{a}{2-2\sqrt2}\right)\]

（P と Q は入れかわってもかまいません。）

(2) 面積はたすきがけの差

\(x_1y_2\) と \(x_2y_1\) では \(a\) と \(\dfrac1a\) が打ち消し合います。

\[x_1y_2=-\frac{2+2\sqrt2}{2-2\sqrt2}\]

\[x_2y_1=-\frac{2-2\sqrt2}{2+2\sqrt2}\]

分母は \((2+2\sqrt2)(2-2\sqrt2)=4-8=-4\)、分子は \((2-2\sqrt2)^2-(2+2\sqrt2)^2=-16\sqrt2\) なので

\[x_1y_2-x_2y_1=\frac{-16\sqrt2}{-4}=4\sqrt2\]

\[\triangle\mathrm{OPQ}=\frac12\cdot4\sqrt2=2\sqrt2\]

つまずきポイント