この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
垂線の長さは点と直線の距離。2 本の直線はこの双曲線の漸近線です。 PA と PB をかけると分子が \(|b^2X^2-a^2Y^2|\) になり、P が双曲線上にある条件を使うと定数 \(a^2b^2\) に変わります。
この回で扱う問題
\(a,\ b\) を正の定数とする。双曲線 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 上の点 P\((X,\ Y)\) から 2 直線 \(y=\dfrac{b}{a}x,\ y=-\dfrac{b}{a}x\) に下ろした垂線の足をそれぞれ A、B とする。
(1) 長さ PA、PB を \(a,\ b,\ X,\ Y\) を用いて表せ。
(2) 積 PA・PB の値は、点 P によらず一定であることを示せ。
（改 東京都立大）
方針 ― 垂線の長さは点と直線の距離
- PA、PB → 点と直線の距離 \(\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)。直線は \(ax+by+c=0\) の形に直してから。
- P は双曲線上の点 → \(\dfrac{X^2}{a^2}-\dfrac{Y^2}{b^2}=1\) が使える。
(1) PA と PB
\(y=\dfrac{b}{a}x\) より \(bx-ay=0\)。PA は点 P\((X,\ Y)\) とこの直線の距離なので
\[\mathrm{PA}=\frac{|bX-aY|}{\sqrt{b^2+(-a)^2}}\]
\[=\frac{|bX-aY|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
同様に \(y=-\dfrac{b}{a}x\) より \(bx+ay=0\) なので
\[\mathrm{PB}=\frac{|bX+aY|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
(2) PA・PB は一定
(1) の結果をかけると、分子は和と差の積です。
\[\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\frac{|(bX-aY)(bX+aY)|}{a^2+b^2}\]
\[=\frac{|b^2X^2-a^2Y^2|}{a^2+b^2}\quad\cdots①\]
点 P は双曲線上の点なので
\[\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1\]
両辺に \(a^2b^2\) を掛けると
\[b^2X^2-a^2Y^2=a^2b^2\]
これを ① に入れて
\[\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\]
\(a,\ b\) は定数なので、PA・PB \(=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\) は点 P によらず一定。
つまずきポイント
- \(y=\dfrac{b}{a}x\) のまま距離の公式に入れる。 まず \(bx-ay=0\) の形に直します。
- 絶対値を外そうとして場合分けにはまる。 かけ算しても絶対値のままで進められます。
- P が双曲線上にある条件を使い忘れる。 「一定であることを示せ」では、曲線の式を必ずどこかで使います。
要点まとめ
- 垂線の長さ → 点と直線の距離。
- 2 つの距離の積 → 和と差の積で \(|b^2X^2-a^2Y^2|\)。
- 双曲線の式 × \(a^2b^2\) で分子が \(a^2b^2\) → 積は \(\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\) で一定。
