この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
2次曲線と直線の2つの交点の中点は、数学Ⅱの軌跡と同じ流れで解けます。 連立した2次方程式の解が交点の \(x\) 座標なので、中点は解と係数の関係で一発。 最後に \(k\) を消して \(x\) と \(y\) だけの式にし、\(k\) の範囲を \(x\) の範囲に直すのを忘れないこと。
この回で扱う問題
\(k\) を実数とし、双曲線 \(x^2-y^2=1\) と直線 \(2x-y+k=0\) が異なる 2 点 P、Q で交わるとする。線分 PQ の中点を R とする。
(1) \(k\) の値の範囲を求めよ。
(2) 点 R の座標を \(k\) を用いて表せ。
(3) \(k\) が (1) で求めた範囲を動くとき、点 R の軌跡を求めよ。
（島根大）
方針 ― 数Ⅱの軌跡と同じ
- 連立 → 2次方程式の解が交点の \(x\) 座標。
- 中点の \(x\) 座標は \(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\) → 解と係数の関係。P、Q を実際に解く必要はありません。
- R \((X,\ Y)\) とおき、\(k\) を消して \(X\) と \(Y\) だけの式を作る。
(1) k の値の範囲
\(2x-y+k=0\) より \(y=2x+k\)。これを \(x^2-y^2=1\) に代入すると
\[x^2-(2x+k)^2=1\]
\[3x^2+4kx+k^2+1=0\quad\cdots①\]
異なる 2 点で交わるので、① の判別式 \(D\) について \(D\gt 0\)。
\[\frac{D}{4}=(2k)^2-3(k^2+1)\]
\[=k^2-3\gt 0\]
\(k\lt -\sqrt3,\ \sqrt3\lt k\)
(2) 中点 R の座標
① の 2 つの実数解を \(\alpha,\ \beta\) とすると、これが P、Q の \(x\) 座標です。解と係数の関係より
\[\alpha+\beta=-\frac{4}{3}k\]
R \((X,\ Y)\) とおくと
\[X=\frac{\alpha+\beta}{2}=-\frac23 k\]
R は直線 \(y=2x+k\) 上の点なので
\[Y=2\cdot\left(-\frac23 k\right)+k=-\frac{k}{3}\]
\(\mathrm{R}\left(-\dfrac23 k,\ -\dfrac{k}{3}\right)\)
(3) R の軌跡
\(X=-\dfrac23 k\) より \(k=-\dfrac32 X\)。これを \(Y=-\dfrac{k}{3}\) に代入して
\[Y=\frac12 X\]
ここで終わりではありません。\(k\) には (1) の範囲があるので、\(k=-\dfrac32 X\) を代入して \(X\) の範囲に直します。
\[-\frac32 X\lt -\sqrt3\ \text{または}\ \sqrt3\lt -\frac32 X\]
\[X\lt -\frac{2\sqrt3}{3},\quad \frac{2\sqrt3}{3}\lt X\]
直線 \(y=\dfrac12 x\) の \(x\lt -\dfrac{2\sqrt3}{3},\ \dfrac{2\sqrt3}{3}\lt x\) の部分
つまずきポイント
- P、Q の座標を実際に解こうとする。 中点に必要なのは \(\alpha+\beta\) だけ。解と係数の関係で出ます。
- \(Y\) も解と係数の関係で出そうとする。 R は直線上の点なので、\(y=2x+k\) に代入するのが早い。
- \(k\) の範囲を \(x\) の範囲に直し忘れる。 軌跡は直線全体ではなく、原点の近くが抜けます。
要点まとめ
- 2次曲線と直線の交点の中点 → 連立して解と係数の関係。
- 中点 \((X,\ Y)\) から媒介する文字 \(k\) を消す。
- \(k\) の範囲を \(X\) の範囲に直して、軌跡の除外部分を決める。
