この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
ゴール AB を点 P から見こむ角 \(\angle\mathrm{APB}\) を最大にする問題です。 角を直接は扱いにくいので、2直線の傾きを \(\tan\) で表し、tan の加法定理で \(\tan\angle\mathrm{APB}\) を作ります。 最後は分母を \(10x+\dfrac{90}{x}\) の形にして、相加平均と相乗平均の関係で最大を決めます。
この回で扱う問題
座標平面上に \(\mathrm{A}(0,2)\)、\(\mathrm{B}(0,5)\)、\(\mathrm{C}(9,0)\)、\(\mathrm{D}(9,3)\) がある。ボールは線分 OD 上の点 P から蹴り、A から B までの範囲に飛び込めばゴール。
直線 OD の方程式を求めよ。\(\mathrm{P}\) の \(x\) 座標を \(x\ (0\lt x\le 9)\) とし、直線 AP、BP と \(x\) 軸の正の向きとのなす角を \(\alpha\)、\(\beta\) とする。\(\tan\alpha\)、\(\tan\beta\)、\(\tan(\alpha-\beta)\) を \(x\) で表し、\(\angle\mathrm{APB}\) が最大になる \(x\) を求めよ。
方針 ― 角は tan に、最大は相加相乗で
- 直線と \(x\) 軸の正の向きとのなす角を \(\theta\) とすると、傾きは \(\tan\theta\)。
- \(\angle\mathrm{APB}=\alpha-\beta\)。\(\tan(\alpha-\beta)\) を加法定理で計算する。
- \(0\lt \alpha-\beta\lt \dfrac{\pi}{2}\) なら、\(\tan\) が大きいほど角も大きい。
- 分子・分母を \(x\) で割り、分母の最小を相加平均と相乗平均の関係で求める。
直線 OD と P の座標（ア・イ）
直線 OD は原点と \(\mathrm{D}(9,3)\) を通るので、傾きは \(\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)。
\[y=\frac{1}{3}x\]
（ア＝1、イ＝3）
よって \(\mathrm{P}\left(x,\ \dfrac{1}{3}x\right)\) と表せます。
tan α、tan β（ウ・エオ）
\(\tan\alpha\) は直線 AP の傾きです。
\[\tan\alpha=\frac{\frac{1}{3}x-2}{x}=\frac{x-6}{3x}\]
同じように、\(\tan\beta\) は直線 BP の傾きです。
\[\tan\beta=\frac{\frac{1}{3}x-5}{x}=\frac{x-15}{3x}\]
（ウ＝6、エオ＝15）
tan(α−β) を作る（カ〜ス）
加法定理 \(\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\) を使います。
\[\tan\alpha-\tan\beta=\frac{9}{3x}=\frac{3}{x}\]
\[1+\tan\alpha\tan\beta=\frac{9x^2+(x-6)(x-15)}{9x^2}\]
\[=\frac{10x^2-21x+90}{9x^2}\]
割り算をすると
\[\tan(\alpha-\beta)=\frac{27x}{10x^2-21x+90}\]
（カキ＝27、クケ＝10、コサ＝21、シス＝90）
分母の判別式は \(21^2-4\cdot10\cdot90=441-3600\lt 0\) で、\(x^2\) の係数が正なので、分母は常に正。よって \(0\lt x\le 9\) で \(\tan(\alpha-\beta)\gt 0\)、つまり \(0\lt \alpha-\beta\lt \dfrac{\pi}{2}\) です。
相加平均と相乗平均で最大を決める（セソ・タ）
分子と分母を \(x\ (\gt 0)\) で割ると
\[\tan(\alpha-\beta)=\frac{27}{10x+\frac{90}{x}-21}\]
\(10x\gt 0\)、\(\dfrac{90}{x}\gt 0\) なので、相加平均と相乗平均の関係から
\[10x+\frac{90}{x}\ge 2\sqrt{10x\cdot\frac{90}{x}}=60\]
等号は \(10x=\dfrac{90}{x}\)、つまり \(x^2=9\)、\(x=3\) のとき。\(x=3\) は \(0\lt x\le 9\) に入っています。
最小値 60（セソ＝60）
分母が最小のとき \(\tan(\alpha-\beta)\) は最大で、その値は \(\dfrac{27}{60-21}=\dfrac{9}{13}\)。\(0\lt \alpha-\beta\lt \dfrac{\pi}{2}\) では \(\tan\) が大きいほど角も大きいので
\[x=3\ \text{のとき}\ \angle\mathrm{APB}\ \text{が最大}\]
（タ＝3）
つまずきポイント
- \(\tan\alpha\) の分子で \(\frac{1}{3}x\) を使わない。 P は直線 OD 上なので、\(y\) 座標は \(\frac{1}{3}x\)。
- 引く順番を逆にする。 AP のほうが傾きが大きいので、\(\angle\mathrm{APB}=\alpha-\beta\)。
- \(\tan\) が最大なら角も最大、と無条件に言う。 \(0\lt \alpha-\beta\lt \frac{\pi}{2}\) を分母が正であることから確かめてから使う。
- 等号成立を確かめない。 \(x=3\) が \(0\lt x\le 9\) に入ることまで確認する。
要点まとめ
- 傾きは \(\tan\)。\(\tan\alpha=\dfrac{x-6}{3x}\)、\(\tan\beta=\dfrac{x-15}{3x}\)。
- 加法定理で \(\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{27x}{10x^2-21x+90}\)。分母は常に正。
- \(x\) で割って \(10x+\dfrac{90}{x}\ge 60\)。等号の \(x=3\) で \(\angle\mathrm{APB}\) は最大。
