この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
線分 AP の垂直二等分線上の点 Q は、QA＝QP を満たします。 この1つの性質から、A が円の内側なら \(\mathrm{OQ}+\mathrm{QA}\) が一定で楕円、外側なら \(|\mathrm{OQ}-\mathrm{QA}|\) が一定で双曲線。 どちらも焦点は O と A です。
この回で扱う問題
円 \(C:\ x^2+y^2=r^2\ (r\gt 0)\)、点 \(\mathrm{A}(2,\,0)\)、\(C\) 上の点 P、線分 AP の垂直二等分線 \(\ell\)、直線 OP と \(\ell\) の交点 Q を考える。
(1) \(r=4\) のとき、\(\mathrm{OQ}+\mathrm{QP}\) と等しいものを選び、Q の軌跡（楕円 \(D\)）の中心、短軸の長さ、方程式を求めよ。
(2) \(r=1\) のとき、Q の軌跡（双曲線 \(E\)）を選び、方程式と漸近線の傾きを求めよ。
(3) \(r\) を変化させたときの考察（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）の正誤を判定せよ。
方針 ― 垂直二等分線なら QA＝QP
- Q は \(\ell\) 上にあるので QA＝QP。これで QP を QA に置きかえる。
- Q は直線 OP 上にもある。O、Q、P の並び方で OP＝OQ＋QP か \(|\mathrm{OQ}-\mathrm{QP}|\) かが決まる。
- 距離の和が一定なら楕円、差が一定なら双曲線。焦点は O と A、中心はその中点 \((1,\,0)\)。
(1) \(r=4\) のとき：楕円（ア〜ク）
A は円の内側なので、Q は線分 OP 上にあります。\(\mathrm{OQ}+\mathrm{QP}=\mathrm{OP}=4\)、そして QP＝QA なので
\[\mathrm{OQ}+\mathrm{QA}=4\]
（ア＝②）
2定点 O、A からの距離の和が一定なので、Q の軌跡は O、A を焦点とする楕円（イ＝②）。
- 中心は O と A の中点 \((1,\,0)\)（ウ＝1、エ＝0）。
- 長軸の長さは距離の和 4 なので、長半径 \(2\)。中心から焦点までは \(1\)。
- 短半径は \(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\)。短軸の長さは \(2\sqrt{3}\)（オ＝③）。
\[\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\]
（カ＝1、キ＝4、ク＝3）
(2) \(r=1\) のとき：双曲線（ケ〜セ）
A は円の外側なので、Q は線分 OP の外（延長上）にあります。このとき \(|\mathrm{OQ}-\mathrm{QP}|=\mathrm{OP}=1\)、QP＝QA なので
\[|\mathrm{OQ}-\mathrm{QA}|=1\]
距離の差が一定なので O、A を焦点とする双曲線（ケ＝①）。
- 中心は \((1,\,0)\)、中心から焦点までは \(1\)。
- 距離の差 \(1\) が頂点間の距離なので、実半径は \(\dfrac{1}{2}\)。
- 虚半径は \(\sqrt{1^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)。
\[\frac{(x-1)^2}{\frac{1}{4}}-\frac{y^2}{\frac{3}{4}}=1\]
\[4(x-1)^2-\frac{4}{3}y^2=1\]
（コ＝4、サ＝1、シ＝4、ス＝3）
漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{\text{虚半径}}{\text{実半径}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\pm\sqrt{3}\)（セ＝⑥）。
(3) \(r\) を変えたときの考察（ソ）
一般の \(r\) でも、焦点は O、A（中心から焦点まで \(1\)）、距離の和または差は \(r\) です。
- \(r\gt 2\)：A は円の内側 → 楕円（長半径 \(\dfrac{r}{2}\)）。
- \(0\lt r\lt 2\)：A は円の外側 → 双曲線（実半径 \(\dfrac{r}{2}\)）。
- \(r=2\)：A が円の上にあり、\(\ell\) はいつも O を通るので Q は O に重なる。
（Ⅰ） 双曲線になるのは \(0\lt r\lt 2\)。\(0\lt r\le 1\) だけではないので誤。たとえば \(r=1.5\) でも双曲線です。
（Ⅱ） 楕円の2つの焦点 O、A は異なる点なので、円にはなりません。誤。
（Ⅲ） 漸近線が垂直に交わるのは、実半径と虚半径が等しいとき。中心から焦点までが 1 なので \(\left(\dfrac{r}{2}\right)^2\times 2=1\)、\(r=\sqrt{2}\)。\(0\lt \sqrt{2}\lt 2\) なので存在します。正。
（Ⅰ）誤、（Ⅱ）誤、（Ⅲ）正
（ソ＝⑥）
つまずきポイント
- QA＝QP を使わずに座標で追う。 計算が重くなる。垂直二等分線を見たら「両端から等距離」。
- 楕円の「長軸の長さ」と「長半径」を混同する。 距離の和 4 は長軸の長さ。方程式の分母は半径の2乗 \(4\) と \(3\)。
- 双曲線の分母を整理し忘れる。 \(\dfrac{(x-1)^2}{1/4}\) は \(4(x-1)^2\)。
- （Ⅰ）を \(r=1\) の結果だけで判断する。 境目は A が円の上にくる \(r=2\)。
要点まとめ
- 垂直二等分線上の点は両端から等距離。QA＝QP で QP を QA に置きかえる。
- \(r=4\)：\(\mathrm{OQ}+\mathrm{QA}=4\) の楕円 \(\dfrac{(x-1)^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)。\(r=1\)：\(|\mathrm{OQ}-\mathrm{QA}|=1\) の双曲線 \(4(x-1)^2-\dfrac{4}{3}y^2=1\)、漸近線の傾き \(\pm\sqrt{3}\)。
- \(r\gt 2\) で楕円、\(0\lt r\lt 2\) で双曲線。円にはならず、\(r=\sqrt{2}\) で直角双曲線。
