この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(\vec{b}\) の \(\vec{a}\) への正射影ベクトルは \(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}\)。 「垂線の足」を内積1回で書ける便利な形です。この回は、これを使って三角形の垂心を出し、 さらに「中点への正射影」という見方で外心を求めます。
この回で扱う問題
(1) \(\vec{b}\) の \(\vec{a}\) への正射影ベクトル \(\vec{b'}=k\vec{a}\)（\(0^\circ\lt \theta\lt 90^\circ\)）について、\(k\) を2つの方針で求めよ。
(2) \(\mathrm{OA}=2\)、\(\mathrm{OB}=3\)、\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=2\) の鋭角三角形 OAB で、A から OB、B から OA に引いた垂線の足を D、E、AD と BE の交点を H とする。\(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\)、\(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\)、\(\overrightarrow{\mathrm{OH}}\) を \(\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)、\(\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) で表せ。
(3) \(\mathrm{OA}=2\)、\(\mathrm{OB}=3\)、\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=3\) の △OAB の外心を K とするとき、\(\overrightarrow{\mathrm{OK}}\) を \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)、\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) で表せ。
方針 ― 垂直なら内積は 0
- 方針1：\(|\vec{b'}|=|\vec{b}|\cos\theta\) と \(\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) を組み合わせる。
- 方針2：\(\vec{b}-\vec{b'}\) が \(\vec{a}\) と垂直なので、内積が 0。
- 垂線の足 D、E は正射影そのもの。H は2直線の交点として係数比較。
- 外心 K から辺に下ろした垂線の足は中点。だから \(\overrightarrow{\mathrm{OK}}\) の OA への正射影は \(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\)。
(1) 正射影ベクトルの係数 \(k\)（ア〜エ）
方針1。 直角三角形を見ると \(|\vec{b'}|=|\vec{b}|\cos\theta\)（ア＝①）。なす角の定義から \(\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)（イ＝④）。 \(\vec{b'}\) と \(\vec{a}\) は同じ向きなので \(k=\dfrac{|\vec{b'}|}{|\vec{a}|}\)。
\[k=\frac{|\vec{b}|\cos\theta}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\]
方針2。 \(\vec{b}-\vec{b'}\) と \(\vec{a}\) が垂直（ウ＝③）なので
\[\vec{a}\cdot(\vec{b}-k\vec{a})=0\quad\Longrightarrow\quad \vec{a}\cdot\vec{b}-k|\vec{a}|^2=0\]
\[k=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\]
（ア＝①、イ＝④、ウ＝③、エ＝②）
方針2は \(\theta\) が鈍角でもそのまま使えるので、こちらが本命です。
(2) 垂線の足 D、E（オ〜ク）
\(|\vec{a}|=2\)、\(|\vec{b}|=3\)、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\)。D は \(\vec{a}\) の \(\vec{b}\) への正射影、E は \(\vec{b}\) の \(\vec{a}\) への正射影です。
\[\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}=\frac{2}{9}\vec{b}\]
\[\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{a}\]
（オ＝2、カ＝9、キ＝1、ク＝2）
(2) 垂心 H（ケ〜ス）
H は直線 AD 上にあるので、実数 \(s\) で
\[\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-s)\vec{a}+\frac{2}{9}s\,\vec{b}\]
直線 BE 上にもあるので、実数 \(u\) で
\[\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{1}{2}u\,\vec{a}+(1-u)\vec{b}\]
\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) は平行でないので係数を比べて、\(1-s=\dfrac{u}{2}\)、\(\dfrac{2}{9}s=1-u\)。 2式目から \(u=1-\dfrac{2}{9}s\) を1式目に入れると \(1-s=\dfrac{1}{2}-\dfrac{s}{9}\)、つまり \(s=\dfrac{9}{16}\)。
\[\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{7}{16}\vec{a}+\frac{1}{8}\vec{b}\]
（ケ＝7、コサ＝16、シ＝1、ス＝8）
検算。 \(\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\dfrac{7}{16}\vec{a}-\dfrac{7}{8}\vec{b}\) なので
\[\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot\vec{a}=\frac{7}{16}\cdot 4-\frac{7}{8}\cdot 2=0\]
BH は OA と垂直です。
(3) 外心 K（セ〜ニ）
外心は各辺の垂直二等分線の交点なので、KM ⊥ OA、KN ⊥ OB。つまり \(\overrightarrow{\mathrm{OK}}\) の OA への正射影が \(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\)、OB への正射影が \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}\) です。
\[\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\mathrm{OM}^2=1\]
\[\overrightarrow{\mathrm{ON}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\mathrm{ON}^2=\frac{9}{4}\]
（セ＝9、ソ＝4）
\(\overrightarrow{\mathrm{OK}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) とおきます。\(\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)、\(|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2=4\)、\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=3\) より
\[\frac{1}{2}(4s+3t)=1\quad\Longrightarrow\quad 2s+\frac{3}{2}t=1\]
（タ＝2、チ＝3、ツ＝2）
同様に \(\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)、\(|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=9\) より
\[\frac{1}{2}(3s+9t)=\frac{9}{4}\quad\Longrightarrow\quad s+3t=\frac{3}{2}\]
2式を解くと \(t=\dfrac{4}{9}\)、\(s=\dfrac{1}{6}\)。
\[\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\frac{1}{6}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{4}{9}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\]
（テ＝1、ト＝6、ナ＝4、ニ＝9）
つまずきポイント
- 正射影の分母を \(|\vec{a}||\vec{b}|\) にする。 係数は「どちらに射影するか」の長さの2乗で割る。OD なら \(|\vec{b}|^2\)、OE なら \(|\vec{a}|^2\)。
- D と E の取り違え。 D は A から OB への垂線の足なので \(\vec{b}\) の何倍か。E は \(\vec{a}\) の何倍か。
- 外心の条件を「OK＝AK＝BK」から2乗して始める。 間違いではないが計算が重い。中点への正射影で \(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\mathrm{OM}^2\) とすると1行で式ができる。
- (2) と (3) の内積の値を混同する。 (2) は \(2\)、(3) は \(3\)。三角形が違う。
要点まとめ
- \(\vec{b}\) の \(\vec{a}\) への正射影ベクトルは \(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}\)。\((\vec{b}-k\vec{a})\cdot\vec{a}=0\) から出る。
- 垂線の足は正射影。\(\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{2}{9}\vec{b}\)、\(\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\dfrac{1}{2}\vec{a}\)、垂心 \(\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\dfrac{7}{16}\vec{a}+\dfrac{1}{8}\vec{b}\)。
- 外心 K の辺への正射影は中点。\(\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\mathrm{OM}^2\) で \(\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{4}{9}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)。
