この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
漸化式で決まる数列の極限を、一般項を求めずに調べる問題です。 流れは (1) 範囲をおさえる（数学的帰納法）→ (2) 極限の候補 \(\alpha\) がただ1つあることを確かめる → (3) \(|a_{n+1}-\alpha|\le\beta|a_n-\alpha|\) の形を作る → (4) はさみうち。 入試で何度も出てくる定番の型です。
この回で扱う問題
数列 \(\{a_n\}\ (n=1,\ 2,\ \cdots)\) は \(a_1=0,\ a_{n+1}=\dfrac{1}{4-a_n^{\,2}}\ (n=1,\ 2,\ \cdots)\) を満たすとする。
(1) すべての自然数 \(n\) に対し、\(0\le a_n\lt 1\) が成り立つことを示せ。
(2) 3次方程式 \(x^3-4x+1=0\) は、\(0\lt x\lt 1\) においてただ1つの解 \(\alpha\) をもつことを示せ。
(3) (2) の \(\alpha\) に対し、\(|a_{n+1}-\alpha|\le\beta|a_n-\alpha|\ (n=1,\ 2,\ \cdots)\) が成り立つような \(\beta\ (0\lt\beta\lt 1)\) を1つ求めよ。
(4) (2) の \(\alpha\) に対し \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\) が成り立つことを示せ。
（2013 神戸大）
(1) 数学的帰納法
\(0\le a_n\lt 1\) …① を数学的帰納法で示します。
[1] \(n=1\) のとき、\(a_1=0\) なので ① は成り立つ。
[2] \(n=k\) のとき ① が成り立つ、すなわち \(0\le a_k\lt 1\) と仮定する。このとき
\[0\le a_k^{\,2}\lt 1\]
\[3\lt 4-a_k^{\,2}\le 4\]
逆数をとると大小が入れかわって
\[\frac14\le\frac{1}{4-a_k^{\,2}}\lt\frac13\]
つまり \(\dfrac14\le a_{k+1}\lt\dfrac13\)。とくに \(0\le a_{k+1}\lt 1\) なので、\(n=k+1\) のときも ① が成り立つ。
[1]、[2] から、すべての自然数 \(n\) について ① が成り立つ。(2) ただ1つの解をもつ
「ただ1つの解をもつ」ことを示せばよく、\(\alpha\) の値は聞かれていません。 1つあることは中間値の定理で、1つしかないことは単調性で確かめます。
\(f(x)=x^3-4x+1\) とおくと \(f'(x)=3x^2-4\)。\(0\lt x\lt 1\) では \(f'(x)\lt 0\) なので、\(f(x)\) は単調に減少します。
\[f(0)=1\gt 0,\qquad f(1)=-2\lt 0\]
\(f(x)\) は連続なので、\(0\lt x\lt 1\) で \(f(x)=0\) となる \(x\) が存在し、単調減少だからそれはただ1つです。
(3) |aₙ₊₁ − α| ≦ β|aₙ − α| の形を作る
ねらいは、右辺に \((a_n-\alpha)\) をくくり出すことです。
\[a_{n+1}-\alpha=\frac{1}{4-a_n^{\,2}}-\alpha=\frac{1-4\alpha+\alpha a_n^{\,2}}{4-a_n^{\,2}}\]
ここで \(\alpha^3-4\alpha+1=0\) より \(1-4\alpha=-\alpha^3\)。これを使うと分子が因数分解できます。
\[a_{n+1}-\alpha=\frac{-\alpha^3+\alpha a_n^{\,2}}{4-a_n^{\,2}}=\frac{\alpha(a_n^{\,2}-\alpha^2)}{4-a_n^{\,2}}\]
\[=\frac{\alpha(a_n+\alpha)}{4-a_n^{\,2}}\,(a_n-\alpha)\]
前の分数の大きさを見積もります。(1)、(2) より \(0\le a_n\lt 1,\ 0\lt\alpha\lt 1\) なので
- 分子：\(0\lt\alpha(a_n+\alpha)\lt 1\times 2=2\)
- 分母：\(3\lt 4-a_n^{\,2}\le 4\)
\[0\lt\frac{\alpha(a_n+\alpha)}{4-a_n^{\,2}}\lt\frac23\]
よって
\[|a_{n+1}-\alpha|=\left|\frac{\alpha(a_n+\alpha)}{4-a_n^{\,2}}\right||a_n-\alpha|\le\frac23|a_n-\alpha|\]
\(\beta=\dfrac23\)（\(0\lt\beta\lt 1\) を満たす）
(4) はさみうち
(3) を \(n\) から \(1\) まで、くり返し使って次数を下げます。
\[|a_n-\alpha|\le\frac23|a_{n-1}-\alpha|\le\left(\frac23\right)^2|a_{n-2}-\alpha|\]
\[\le\cdots\le\left(\frac23\right)^{n-1}|a_1-\alpha|=\left(\frac23\right)^{n-1}\alpha\]
\[0\le|a_n-\alpha|\le\left(\frac23\right)^{n-1}\alpha\]
\(0\lt\dfrac23\lt 1\) なので \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac23\right)^{n-1}\alpha=0\)。はさみうちの原理より
\[\lim_{n\to\infty}|a_n-\alpha|=0\]
\[\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\]
つまずきポイント
- (1) で逆数をとるとき不等号の向きを変え忘れる。 \(3\lt 4-a_k^{\,2}\le 4\) なら \(\frac14\le\frac1{4-a_k^{\,2}}\lt\frac13\)。
- (2) で \(\alpha\) を求めようとする。 聞かれているのは「ただ1つあること」だけ。中間値の定理と単調性で十分です。
- (3) で \(1-4\alpha=-\alpha^3\) に気づかない。 \(\alpha\) が満たす式を使って分子を \(\alpha(a_n^{\,2}-\alpha^2)\) にするのが山場です。
- 見積もりで (1) の結果を使い忘れる。 \(0\le a_n\lt 1\) があるから、分子は \(2\) 未満、分母は \(3\) より大きいと言えます。
- (4) で \(|a_1-\alpha|\) を残したままにする。 \(a_1=0\) なので \(|a_1-\alpha|=\alpha\)。定数なので \(\left(\frac23\right)^{n-1}\) を掛ければ \(0\) に近づきます。
要点まとめ
- 漸化式の極限は、範囲（帰納法）→ 候補 \(\alpha\) → 縮小の不等式 → はさみうちの順。
- 「ただ1つの解」は中間値の定理＋単調性。値は求めなくてよい。
- \(|a_{n+1}-\alpha|\le\beta|a_n-\alpha|\)（\(0\lt\beta\lt1\)）が作れれば、\(|a_n-\alpha|\le\beta^{n-1}|a_1-\alpha|\to 0\)。
- \(\alpha\) が満たす方程式を使って、\((a_n-\alpha)\) をくくり出す。
