この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(\alpha=\cos\dfrac{360^{\circ}}{7}+i\sin\dfrac{360^{\circ}}{7}\) は、1 の 7 乗根です。 使う道具はたった2つ。\(\alpha^{7}=1\) と、\(1+\alpha+\cdots+\alpha^{6}=0\)。 分母に \(1-\alpha^{k}\) が出てきたら、分子分母に \(\alpha^{k}\) を掛けて \(\alpha^{7}\) を作る。 これだけで4問とも片づきます。
この回で扱う問題（神戸大）
複素数 \(\alpha=\cos\dfrac{360^{\circ}}{7}+i\sin\dfrac{360^{\circ}}{7}\) に対し、次の式の値を求めよ。
(1) \(\alpha+\alpha^{2}+\alpha^{3}+\alpha^{4}+\alpha^{5}+\alpha^{6}\)
(2) \(\dfrac{1}{1-\alpha}+\dfrac{1}{1-\alpha^{6}}\)
(3) \(\dfrac{1}{1-\alpha}+\dfrac{1}{1-\alpha^{2}}+\dfrac{1}{1-\alpha^{3}} +\dfrac{1}{1-\alpha^{4}}+\dfrac{1}{1-\alpha^{5}}+\dfrac{1}{1-\alpha^{6}}\)
(4) \(\dfrac{\alpha^{2}}{1-\alpha}+\dfrac{\alpha^{4}}{1-\alpha^{2}}+\dfrac{\alpha^{6}}{1-\alpha^{3}} +\dfrac{\alpha^{8}}{1-\alpha^{4}}+\dfrac{\alpha^{10}}{1-\alpha^{5}}+\dfrac{\alpha^{12}}{1-\alpha^{6}}\)
(1) 道具をつくる
ド・モアブルの定理から
\[\alpha^{7}=\cos 360^{\circ}+i\sin 360^{\circ}=1\]
よって \(\alpha^{7}-1=0\)。因数分解すると
\[(\alpha-1)(\alpha^{6}+\alpha^{5}+\alpha^{4}+\alpha^{3}+\alpha^{2}+\alpha+1)=0\]
\(\alpha\neq 1\) なので、右の因数が \(0\)。
\[\alpha^{6}+\alpha^{5}+\alpha^{4}+\alpha^{3}+\alpha^{2}+\alpha=-1\]
\(\alpha\neq 1\) を書くこと。これがないと両辺を \(\alpha-1\) で割れません。 \(\dfrac{360^{\circ}}{7}\) は \(360^{\circ}\) の整数倍でないから \(\alpha\neq 1\)、と一言添えます。
(2) \(\alpha^{7}=1\) を「作りに行く」
\(\dfrac{1}{1-\alpha^{6}}\) の分母には \(\alpha^{6}\)。ここで分子分母に \(\alpha\) を掛けます。
\[\frac{1}{1-\alpha^{6}}=\frac{\alpha}{\alpha-\alpha^{7}}=\frac{\alpha}{\alpha-1}=-\frac{\alpha}{1-\alpha}\]
これで分母が \(1-\alpha\) にそろいました。
\[\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\alpha^{6}} =\frac{1}{1-\alpha}-\frac{\alpha}{1-\alpha}=\frac{1-\alpha}{1-\alpha}\]
\[\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\alpha^{6}}=1\]
\(\alpha^{7}\) が出るようにわざと \(\alpha\) を掛ける。これが今日いちばんの手筋です。
(3) (2) を使う ― 足して 7 になる組で対にする
指数を足すと 7 になる組をつくります。\((1,6),(2,5),(3,4)\)。
\[\left(\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\alpha^{6}}\right) +\left(\frac{1}{1-\alpha^{2}}+\frac{1}{1-\alpha^{5}}\right) +\left(\frac{1}{1-\alpha^{3}}+\frac{1}{1-\alpha^{4}}\right)\]
2つめの組は、分子分母に \(\alpha^{2}\) を掛けると
\[\frac{1}{1-\alpha^{5}}=\frac{\alpha^{2}}{\alpha^{2}-\alpha^{7}}=\frac{\alpha^{2}}{\alpha^{2}-1}\]
となり、(2) とまったく同じ形。3つめも \(\alpha^{3}\) を掛けて同様です。どの組も値は \(1\)。
\[(\text{与式})=1+1+1=3\]
(4) 帯分数化する ― 分子の次数を落とす
\(\dfrac{\alpha^{2k}}{1-\alpha^{k}}\) は、分子の次数（2次）が分母（1次）より高い。 こういうときは割り算をして「整式＋分数」に直す。板書で「帯分数化」と呼んだ操作です。
\[\frac{\alpha^{2k}}{1-\alpha^{k}}=-\alpha^{k}-1+\frac{1}{1-\alpha^{k}}\]
確かめは掛け算で。\((-\alpha^{k}-1)(1-\alpha^{k})+1 =-\alpha^{k}+\alpha^{2k}-1+\alpha^{k}+1=\alpha^{2k}\)。合っています。
\(k=1,2,\cdots,6\) で足し合わせると、3つのかたまりに分かれます。
| かたまり | 値 | 根拠 |
|---|---|---|
| \(-(\alpha+\alpha^{2}+\cdots+\alpha^{6})\) | \(+1\) | (1) より中身が \(-1\) |
| \(-1\) が6個 | \(-6\) | そのまま |
| \(\displaystyle\sum_{k=1}^{6}\frac{1}{1-\alpha^{k}}\) | \(+3\) | (3) の結果 |
\[(\text{与式})=1-6+3=-2\]
(1)(2)(3) が全部そのまま使われました。小問は積み上がるように並んでいます。
つまずきポイント
- \(\alpha\) を具体的な値（\(\cos,\sin\)）で計算しようとする。 \(\dfrac{360^{\circ}}{7}\) の三角比は求まりません。使うのは \(\alpha^{7}=1\) だけです。
- \(\alpha\neq 1\) を書かずに \(\alpha-1\) で割る。 \(0\) で割る可能性を消していない答案は、そこで止まります。
- \(\dfrac{1}{1-\alpha^{6}}\) を通分してしまう。 通分すると分母が \((1-\alpha)(1-\alpha^{6})\) になって荒れます。 掛けて \(\alpha^{7}\) を作るほうが速い。
- (4) を通分で押し切ろうとする。 分子の次数が高いときは帯分数化。前の小問の結果を使える形に持ち込むのが狙いです。
- (3) で組をつくらず、6個をばらばらに計算する。 指数を足して 7 にする組み合わせを見つけるのが設計です。
要点まとめ
- \(\alpha=\cos\dfrac{360^{\circ}}{7}+i\sin\dfrac{360^{\circ}}{7}\) の道具は \(\alpha^{7}=1\) と \(1+\alpha+\cdots+\alpha^{6}=0\) の2つだけ。
- 分母に \(1-\alpha^{k}\) が出たら、分子分母に \(\alpha^{k}\) を掛けて \(\alpha^{7}\) を作る。
- 指数を足して 7 になる組で対にすると、同じ形がくり返し使える。
- 分子の次数が高い分数は帯分数化して、前の小問の結果に合流させる。
