この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(e^{-n\sin x}\) は積分できません。 それでも極限は求まります。不等式ではさんで、はさみうち。 その道具を (1) で作らせるのが、この問題の設計です。
この回で扱う問題（大阪市立大）
(1) \(0\le x\le\dfrac{\pi}{2}\) のとき，\(\sin x\ge\dfrac{2}{\pi}x\) であることを示せ。
(2) 等式 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-n\sin x}dx=0\) が成り立つことを示せ。
(1) 不等式の証明は「大 − 小」が王道
差をとって関数におき、微分して増減表を書く。これが基本です。
\[f(x)=\sin x-\frac{2}{\pi}x,\qquad f'(x)=\cos x-\frac{2}{\pi}\]
\(0<\dfrac{2}{\pi}<1\) なので、\(0 両端で \(f=0\)、間で上に凸に持ち上がるので、区間全体で \(f(x)\ge 0\)。 \[0\le x\le\frac{\pi}{2}\ \text{のとき}\quad \sin x\ge\frac{2}{\pi}x\]
\(y=\sin x\) は \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) で上に凸。
\(y=\frac{2}{\pi}x\) は両端 \((0,0)\)、\(\left(\frac{\pi}{2},1\right)\) を結ぶ直線です。
上に凸なグラフは、2点を結ぶ弦より上にある — それがこの不等式の正体です。
ただし答案では増減表で書ききってください。 (1) の両辺に \(-n\)（負の数）を掛けます。向きが変わります。 \[-n\sin x\le-\frac{2n}{\pi}x\]
ここで \(y=e^{x}\) は単調増加なので、指数に載せても大小はそのまま。
さらに指数関数は正なので、下は \(0\) で押さえられます。 \[0 \[0<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-n\sin x}dx\le\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{2n}{\pi}x}dx\]
右辺は計算できます。 \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{2n}{\pi}x}dx
=\left[-\frac{\pi}{2n}e^{-\frac{2n}{\pi}x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
=\frac{\pi}{2n}\left(1-e^{-n}\right)\]
\(n\to\infty\) で \(\dfrac{\pi}{2n}\to 0\)、\(e^{-n}\to 0\) なので、右辺は \(0\) に収束。 \[\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-n\sin x}dx=0\]
\(x\) \(0\) \(\cdots\) \(\alpha\) \(\cdots\) \(\frac{\pi}{2}\) \(f'(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(f(x)\) \(0\) ↗ 極大 ↘ \(0\) 図で見ると当たり前
(2) 不等式を作って、はさみうち
つまずきポイント
要点まとめ
