この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
楕円の2つの焦点 F₁、F₂ と、その上の点Pを結ぶと、接線は ∠F₁PF₂ の外角を2等分します。 F₂ を接線に関して折り返した点Qは、直線 F₁P の上に乗る。 この回は、その様子を複素数平面でたしかめます。偏角の等しさが、そのまま角の大小になります。
この回で扱う問題
楕円 \(E:\ \dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{2}=1\) と点 A(1, 0)。\(E\) 上の点 P(\(x_1,\ y_1\))（\(x_1\gt 0,\ y_1\gt 0\)）における接線 \(\ell\) と直線 AP が直交している。
焦点を F₁、F₂（\(x\) 座標の小さい方が F₁）、\(\ell\) と \(x\) 軸の交点を B とする。複素数平面で \(z=x_1+y_1i\)、点Pを \(z\) とし、直線 PB に関して F₂ と対称な点Qを表す複素数 \(w\) を \(z\) で表せ。
方針 ― 座標で P を決め、複素数で角と対称点を見る
- 焦点は \(\sqrt{6-2}=2\) より F₁(−2, 0)、F₂(2, 0)。
- 接線の傾きと AP の傾きの積が \(-1\) から \(x_1\) を決める。
- 複素数 \(\dfrac{z-1}{z+2}\) や \(\dfrac{z-2}{z-1}\) の偏角は、角の大きさを表す。2つの偏角が等しければ、角が等しい。
- Q は直線 F₁P 上。PF₁：PF₂＝3：1 から、\(w\) を \(z\) で書く。
① 焦点と接線（ア・イ）
\(a^2=6,\ b^2=2\)、焦点は \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4}=2\)。
\[F_1(-2,\ 0),\quad F_2(2,\ 0)\]
（ア＝2）
接線 \(\ell:\ \dfrac{x_1x}{6}+\dfrac{y_1y}{2}=1\) を \(y=\) の形にすると、傾きは \(-\dfrac{x_1/6}{y_1/2}=-\dfrac{x_1}{3y_1}\)。
\(\ell\) の傾き \(=-\dfrac{x_1}{3y_1}\) （イ＝④）
② \(x_1\) と点B（ウ・エ・オ）
直線 AP の傾きは \(\dfrac{y_1}{x_1-1}\)。\(\ell\perp\)AP なので、傾きの積が \(-1\)：
\[-\frac{x_1}{3y_1}\cdot\frac{y_1}{x_1-1}=-1\ \Longrightarrow\ x_1=3(x_1-1)\]
\[x_1=\frac32\]
（ウ＝3、エ＝2）
楕円の式から \(\dfrac{9/4}{6}+\dfrac{y_1^2}{2}=1\)、\(y_1^2=\dfrac54\)、\(y_1=\dfrac{\sqrt5}{2}\)。つまり \(z=\dfrac32+\dfrac{\sqrt5}{2}i\)。
B は \(\ell\) と \(x\) 軸の交点。\(y=0\) として \(\dfrac{x_1x}{6}=1\)、\(x=\dfrac{6}{x_1}=4\)。
B(4, 0) （オ＝4）
③ 複素数の比で角を見る（カ・キ・ク）
A(1)、F₁(−2)、F₂(2)、B(4)、P(\(z\))。まず \(\dfrac{z-1}{z+2}\) を確かめます。\(z-1=\dfrac12+\dfrac{\sqrt5}{2}i\)、\(z+2=\dfrac72+\dfrac{\sqrt5}{2}i\) より
\[\frac{z-1}{z+2}=\frac{1+\sqrt5 i}{7+\sqrt5 i}=\frac{(1+\sqrt5 i)(7-\sqrt5 i)}{49+5}\]
\[=\frac{12+6\sqrt5 i}{54}=\frac{2+\sqrt5 i}{9}\]
問題文の値と一致しました。次に \(\dfrac{z-2}{z-1}\)：\(z-2=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt5}{2}i\) なので
\[\frac{z-2}{z-1}=\frac{-1+\sqrt5 i}{1+\sqrt5 i}\]
\[=\frac{(-1+\sqrt5 i)(1-\sqrt5 i)}{6}\]
\[=\frac{4+2\sqrt5 i}{6}=\frac{2+\sqrt5 i}{3}\]
\[\frac{z-2}{z-1}=\frac{2+\sqrt5\,i}{3}\]
（カ＝2、キ＝5、ク＝3）
④ 角 α と β の大小（ケ）
\(\dfrac{z-1}{z+2}=\dfrac{2+\sqrt5 i}{9}\) と \(\dfrac{z-2}{z-1}=\dfrac{2+\sqrt5 i}{3}\) は、どちらも「\(2+\sqrt5 i\) の正の実数倍」。偏角が等しいのです。
- \(\dfrac{z-1}{z+2}\) の偏角は、PF₁ の向きから PA の向きへの回転角 \(\alpha=\angle F_1PA\)。
- \(\dfrac{z-2}{z-1}\) の偏角は、PA の向きから PF₂ の向きへの回転角 \(\beta=\angle APF_2\)。
\(\alpha=\beta\) （ケ＝①）
つまり直線 AP は \(\angle F_1PF_2\) の二等分線。接線 \(\ell\) は AP と垂直なので、\(\ell\)（直線 PB）は外角の二等分線です。
⑤ 点Qは直線 F₁P 上にある（コ）
直線 PB に関して F₂ と対称な点が Q です。PB が \(\angle F_1PF_2\) の外角を2等分しているので、F₂ を折り返した Q は直線 F₁P の、P をこえた側に乗ります。
点Qは直線 F₁P 上に ある（コ＝⓪）
⑥ \(w\) を \(z\) で表す（サ・シ・ス）
折り返しなので PQ＝PF₂。問題文より PF₁：PF₂＝3：1 だから、PQ＝\(\dfrac13\)PF₁。Q は F₁ から P の向きにのびた先で、\(\overrightarrow{PQ}=\dfrac13\overrightarrow{F_1P}\) です。
\[w=z+\frac13\,(z-(-2))\]
\[=z+\frac{z+2}{3}=\frac{4z+2}{3}\]
\[w=\frac{4z+2}{3}\]
（サ＝4、シ＝2、ス＝3）
確かめ：\(z=\dfrac32+\dfrac{\sqrt5}{2}i\) のとき \(|z+2|=\left|\dfrac72+\dfrac{\sqrt5}{2}i\right|=\dfrac{3\sqrt6}{2}\)、\(|z-2|=\left|-\dfrac12+\dfrac{\sqrt5}{2}i\right|=\dfrac{\sqrt6}{2}\)。PF₁：PF₂＝3：1 になっています。また \(|w-z|=\dfrac{|z+2|}{3}=\dfrac{\sqrt6}{2}=|z-2|\)、つまり PQ＝PF₂ も成り立ちます。
つまずきポイント
- 焦点の位置。 楕円 \(\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{2}=1\) は \(a^2\gt b^2\)（横長）。焦点は \(\pm\sqrt{a^2-b^2}=\pm 2\)。\(\sqrt{a^2+b^2}\)（双曲線）と混ぜない。
- 接線の傾きの符号。 \(\dfrac{x_1x}{6}+\dfrac{y_1y}{2}=1\) の傾きは \(-\dfrac{x_1}{3y_1}\)。符号のマイナスと、分母の3を忘れやすい。
- 偏角と角の対応。 \(\dfrac{z_1-z_0}{z_2-z_0}\) の偏角は、2つのベクトルのなす角（向き付き）。比が実数倍ずつなら、角が等しい。
- Q は線分ではなく延長上。 Q は F₁P の延長（P の向こう側）にあるので、\(w=z+\dfrac{1}{3}(z+2)\)。\(z-\dfrac13(z+2)\) ではない。
- 最後の検算。 PQ＝PF₂ を計算で確かめると、PF₁：PF₂＝3：1 の使い方が正しいか分かる。
要点まとめ
- 楕円 \(\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{2}=1\) の焦点は \((\pm 2,\ 0)\)。接線は \(\dfrac{x_1x}{6}+\dfrac{y_1y}{2}=1\)。
- AP ⊥ 接線の条件（傾きの積が \(-1\)）から \(x_1=\dfrac32\)、\(y_1=\dfrac{\sqrt5}{2}\)、B(4, 0)。
- \(\dfrac{z-1}{z+2}\) と \(\dfrac{z-2}{z-1}\) は偏角が等しい → \(\alpha=\beta\)。AP は \(\angle F_1PF_2\) の二等分線で、接線は外角の二等分線。
- F₂ の対称点 Q は直線 F₁P 上。PF₁：PF₂＝3：1 から \(w=\dfrac{4z+2}{3}\)。
