第11回（第1〜3問）のうち、差がつく4か所だけを短い動画にまとめました。 各問の全体の解説は、下のリンク先の記事にあります。
第11回（第1〜3問）のうち、定番の計算ではなく場合分け・図形の見方で差がつく4か所だけを集めました。 解き終わったあとの見直しや、試験直前の確認に使ってください。
この記事で扱う4か所
① 第1問〔2〕(1)(2) \(a^x=t\) とおき、底 \(a\) と1の大小で場合分け（エ〜キ）
② 第1問〔2〕(3) ①と②を同時に満たす \(x\) がない条件（ク・ケ）
③ 第2問 外分点の軌跡と弦の長さ、D と E は B の反対側（ア〜ウ、シ〜セ）
④ 第3問 \(T(s)\) の概形は出発点の値と傾き、平行なら面積一定（カ・キ、セ）
第1問〔1〕の合成、第2問の交点 B と OH、第3問(1) の面積と (3) の接線・面積は定番の処理なので、ここでは省きます。
① 底と1の大小で場合分け（第1問・エ〜キ）
\(a^x=t\ (>0)\) とおくと \(t+\sqrt a>0\) なので、①は
\[(t-\sqrt a)(t-a^2)<0\]
\(a>1\) なら \(\sqrt a<a^2\) で \(\sqrt a<t<a^2\)（エ＝⓪）。底が1より大きいので向きはそのままで \(\dfrac12<x<2\)。
\(0<a<1\) では、\(\sqrt a\) と \(a^2\) の大小が入れかわり、さらに不等号の向きも逆になります。2回入れかわって、結局同じ範囲です。
どちらも \(\dfrac12<x<2\)（オ＝①、カ＝①）
②も、\(0<a<1\) なら向きが逆で \(x<\log_ab\)（キ＝⓪）。\(a>1\) なら \(x>\log_ab\) です。
② 共通の x がない条件（第1問・ク・ケ）
①の範囲 \(\dfrac12<x<2\) と②が重ならない条件を考えます。
- \(0<a<1\)：②は \(\log_ab\) より左 → \(\log_ab\le\dfrac12\)、つまり \(b\ge\sqrt a\)
- \(a>1\)：②は \(\log_ab\) より右 → \(\log_ab\ge2\)、つまり \(b\ge a^2\)
\(a=\dfrac14\) では \(\sqrt a=\dfrac12\le\dfrac23\)、\(a=\dfrac32\) では \(a^2=\dfrac94\le\dfrac52\) で、どちらも共通の解がありません。
ク、ケ＝①、③
③ 外分点の軌跡と弦の長さ（第2問・ア〜ウ、シ〜セ）
AQ を 2：1 に外分する点は \(P=2Q-A\)。内分と符号をまちがえないようにします。Q の座標を P で表して C₁ に代入します。
\[s=\frac12x,\quad t=\frac{y+4}{2}\]
\[C_2:\ x^2+(y+4)^2=16\]
（ア＝②、イ＝②、ウ＝③）
弦の長さは \(2\sqrt{r^2-d^2}\)（\(r\) は半径、\(d\) は中心から直線までの距離）。\(\mathrm{OH}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)、C₂ の中心から直線 AB までは \(\sqrt{10}\) なので
\[\mathrm{DB}=2\sqrt{4-\frac52}=\sqrt6\]
\[\mathrm{BE}=2\sqrt{16-10}=2\sqrt6\]
D と E は B をはさんで反対側にあるので、足し算です。
\(\mathrm{DB}=\sqrt6\)、\(\mathrm{DE}=3\sqrt6\)（シ＝6、ス＝3、セ＝6）
④ T(s) の概形と面積一定（第3問・カ・キ、セ）
\(T(s)=\displaystyle\int_1^s\{g(x)-f(x)\}\,dx\) は、微分すると中身に \(s\) を入れるだけです。
\[T'(s)=g(s)-f(s)=-2(s-1)(s-5)\]
\(T'(5)=0\)（カ＝⓪）。\(1<s<5\) で増加、\(5<s\) で減少します。さらに \(T(1)=0\) かつ \(T'(1)=0\) なので、\(s\) 軸上の点から水平に出発します。
キ＝①
(3) A\((1,\ -5)\)、B\((5,\ 3)\) から AB：\(y=2x-7\)。CD は \(y=2x-3\) で、傾きが同じ2で平行です。P が AB 上を動いても、底辺 CD に対する高さは変わりません。
△CDP の面積は一定（セ＝①）
要点まとめ
- \(a^x=t\) とおき、底 \(a\) と1の大小で場合分け。\(a<1\) では大小と向きが2回入れかわる。
- 共通の解がない条件は \(b\ge\sqrt a\)（\(a<1\)）、\(b\ge a^2\)（\(a>1\)）。
- 外分点は \(2Q-A\)。弦の長さは \(2\sqrt{r^2-d^2}\)、DE は足し算。
- \(T(s)\) の概形は \(T(1)=T'(1)=0\) から。AB∥CD なら面積は一定。
