この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
回転する三角形の垂線の長さは、辺の長さと「直線 \(\ell\) とのなす角」を使って \(\sin\)・\(\cos\) で表し、和は合成で最大値を求めます。 指数の不等式は \(a^x=t\) とおいて2次不等式にしますが、底 \(a\) と1の大小で \(\sqrt a\) と \(a^2\) の大小も不等号の向きも変わる点が勝負どころです。
この回で扱う問題
〔1〕\(PA=\sqrt3\)、\(QA=1\)、\(\angle PAQ=\dfrac{\pi}{2}\) の \(\triangle PAQ\) があり、直線 \(\ell\) 上に点 A、X がある。\(\triangle PAQ\) を点 A を中心に回転し、P、Q から \(\ell\) に引いた垂線と \(\ell\) の交点をそれぞれ \(H_1\)、\(H_2\) とし、\(\angle QAX=\theta\ \left(0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}\right)\) とする。
\(L=PH_1+QH_2\) は（ア）と表され（⓪ \((1+\sqrt3)\sin\theta\) ① \(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta\) ② \(\sqrt3\sin\theta+\cos\theta\) ③ \((1+\sqrt3)\cos\theta\) ④ \(\sqrt3\tan\theta+\sin\theta\) ⑤ \(\sqrt3\tan\theta+\cos\theta\)）、\(L\) の最大値は イ、このとき \(\theta=\dfrac{\pi}{\fbox{ウ}}\)。
〔2〕\(a\) は1でない正の定数、\(b\) は正の定数とする。
\((a^{2x}-a)(a^x-a^2)\lt 0\) …① \(a^x\gt b\) …②
(1) \(a\gt 1\) とする。\(a^x=t\) とおくと①は \((t^2-a)(t-a^2)\lt 0\) …③。③を満たす \(t\) の範囲は（エ）、①を満たす \(x\) の範囲は（オ）。同様に \(0\lt a\lt 1\) のとき①を満たす \(x\) の範囲は（カ）。
エ：⓪ \(\sqrt a\lt t\lt a^2\) ① \(0\lt t\lt a^2\) ② \(a\lt t\lt a^2\) ③ \(\sqrt a\lt t\lt a^2,\ a^2\lt t\) ④ \(0\lt t\lt a,\ a^2\lt t\) ⑤ \(0\lt t\lt a^2,\ a^2\lt t\)
オ・カ：⓪ \(0\lt x\lt 2\) ① \(\dfrac12\lt x\lt 2\) ② \(1\lt x\lt 2\) ③ \(x\lt\dfrac12,\ 2\lt x\) ④ \(0\lt x\lt\dfrac12,\ 2\lt x\) ⑤ \(0\lt x\lt 1,\ 2\lt x\)
(2) \(0\lt a\lt 1\) のとき②を満たす \(x\) の範囲は（キ）（⓪ \(x\lt\log_a b\) ① \(x\gt\log_a b\) ② \(x\lt\log_b a\) ③ \(x\gt\log_b a\)）。
(3) 次の \((a,\ b)\) のうち、①と②を同時に満たす \(x\) が存在しないものは（ク）と（ケ）。
⓪ \(\left(\dfrac1{16},\ \dfrac15\right)\) ① \(\left(\dfrac14,\ \dfrac23\right)\) ② \(\left(\dfrac12,\ \dfrac14\right)\) ③ \(\left(\dfrac32,\ \dfrac52\right)\) ④ \(\left(\dfrac53,\ 1\right)\) ⑤ \((3,\ 5)\)
方針
- 〔1〕長さ \(r\) の線分が \(\ell\) と角 \(\alpha\) をなすとき、\(\ell\) までの高さは \(r\sin\alpha\)。
- \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の和は合成して最大値を出す。
- 〔2〕\(a^x=t\ (t\gt 0)\) とおいて2次不等式。底 \(a\) と1の大小で場合分けする。
〔1〕垂線の長さと L（ア）
QA は \(\ell\) と角 \(\theta\) をなすので \(QH_2=1\cdot\sin\theta=\sin\theta\)。
PA は \(\angle PAX=\theta+\dfrac{\pi}{2}\) なので
\[PH_1=\sqrt3\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt3\cos\theta\]
\(L=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta\)（ア＝①）
〔1〕最大値（イ・ウ）
\[L=2\left(\frac12\sin\theta+\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta\right)\]
\[=2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\]
\(\dfrac{\pi}{3}\lt\theta+\dfrac{\pi}{3}\lt\dfrac{5}{6}\pi\) なので、\(\theta+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}\) のとき最大です。
最大値 2（イ＝2）、\(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)（ウ＝6）
〔2〕(1) a ＞ 1 のとき（エ・オ）
\(t^2-a=(t-\sqrt a)(t+\sqrt a)\) で、\(t\gt 0\) なら \(t+\sqrt a\gt 0\)。よって③は
\[(t-\sqrt a)(t-a^2)\lt 0\]
\(a\gt 1\) のとき \(\sqrt a=a^{\frac12}\lt a^2\) なので
\[\sqrt a\lt t\lt a^2\]
\(a^{\frac12}\lt a^x\lt a^2\) で、底 \(a\gt 1\) なので向きはそのまま。
\[\frac12\lt x\lt 2\]
（エ＝⓪）、（オ＝①）
〔2〕(1) 0 ＜ a ＜ 1 のとき（カ）
\(0\lt a\lt 1\) では \(a^2\lt\sqrt a\) と大小が入れかわるので、③の解は \(a^2\lt t\lt\sqrt a\)。
\(a^2\lt a^x\lt a^{\frac12}\) で、底 \(a\lt 1\) なので不等号の向きが逆になり、\(\dfrac12\lt x\lt 2\)。
結局、\(a\) が1より大きくても小さくても、①の解は同じです。
\(\dfrac12\lt x\lt 2\)（カ＝①）
〔2〕(2) 不等式②（キ）
\(0\lt a\lt 1\) のとき、\(a^x\gt b=a^{\log_a b}\) で底が1より小さいので
\[x\lt\log_a b\]
\(a\gt 1\) なら \(x\gt\log_a b\) です。
（キ＝⓪）
〔2〕(3) ①と②を同時に満たす x がない（ク・ケ）
①は \(\dfrac12\lt x\lt 2\)。
- \(0\lt a\lt 1\)：②は \(x\lt\log_a b\)。重ならない ⇔ \(\log_a b\le\dfrac12\) ⇔ \(b\ge\sqrt a\)
- \(a\gt 1\)：②は \(x\gt\log_a b\)。重ならない ⇔ \(\log_a b\ge 2\) ⇔ \(b\ge a^2\)
選択肢を調べます。
- ⓪ \(a=\dfrac1{16}\)：\(\sqrt a=\dfrac14\gt\dfrac15=b\) → 共通の解あり
- ① \(a=\dfrac14\)：\(\sqrt a=\dfrac12\le\dfrac23=b\) → なし
- ② \(a=\dfrac12\)：\(\sqrt a=\dfrac{\sqrt2}{2}\gt\dfrac14=b\) → あり
- ③ \(a=\dfrac32\)：\(a^2=\dfrac94\le\dfrac52=b\) → なし
- ④ \(a=\dfrac53\)：\(a^2=\dfrac{25}{9}\gt 1=b\) → あり
- ⑤ \(a=3\)：\(a^2=9\gt 5=b\) → あり
（ク、ケ＝①、③）（順不同）
つまずきポイント
- \(PH_1\) を \(\sqrt3\sin\theta\) としてしまう。 PA が \(\ell\) となす角は \(\theta+\dfrac{\pi}{2}\)。
- \(\sqrt a\lt a^2\) をいつも成り立つと思う。 \(0\lt a\lt 1\) では \(a^2\lt\sqrt a\)。
- 底が1より小さいときに不等号の向きを変え忘れる。 指数でも対数でも向きが逆になる。
要点まとめ
- \(L=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\)、最大値2（\(\theta=\dfrac{\pi}{6}\)）。
- \(a^x=t\) で \((t-\sqrt a)(t-a^2)\lt 0\)。①の解は \(a\) によらず \(\dfrac12\lt x\lt 2\)。
- 共通の解がない ⇔ \(b\ge\sqrt a\)（\(a\lt 1\)）、\(b\ge a^2\)（\(a\gt 1\)）→ ①、③。
