この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
点が平面 ABC 上にあるとき、\(\overrightarrow{OF}=s\vec a+t\vec b+u\vec c\) の係数の和が 1になります。 この条件を「D から F を求める」向きにも、「F から D を求める」向きにも使います。(3) では D が直線 OA の延長上に来ることから、△ADB の形が決まります。
この回で扱う問題
正四面体 OABC があり、点 D を平面 OAB 上で直線 AB に関して点 O と反対側にとり、△OAB、△ADB の重心をそれぞれ \(G_1\)、\(G_2\) とする。点 E を \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{G_1G_2}\) を満たすようにとり、直線 OE と平面 ABC の交点を F とする。\(\overrightarrow{OA}=\vec a\)、\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)、\(\overrightarrow{OC}=\vec c\) とする。
(1) △ADB が正三角形となるように D をとる。\(\overrightarrow{OG_1}=\)ア、\(\overrightarrow{CE}=\)イ（⓪ \(\frac12\vec a+\frac12\vec b\) ① \(\frac12\vec b+\frac12\vec c\) ② \(\frac12\vec c+\frac12\vec a\) ③ \(\frac13\vec a+\frac13\vec b\) ④ \(\frac13\vec b+\frac13\vec c\) ⑤ \(\frac13\vec c+\frac13\vec a\) ⑥ \(\frac23\vec a+\frac23\vec b\) ⑦ \(\frac23\vec b+\frac23\vec c\) ⑧ \(\frac23\vec c+\frac23\vec a\)）。\(\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OE}\) とすると \(k=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}\)、\(\overrightarrow{OF}=\dfrac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}\vec a+\dfrac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}\vec b+\dfrac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}\vec c\)。
(2) \(\overrightarrow{OD}=\vec d\) とし、\(\overrightarrow{G_1G_2}=\dfrac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}}\vec d\)。F が △ABC の重心であるとき \(\overrightarrow{OF}=\dfrac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}}\overrightarrow{OE}\)、\(\overrightarrow{OD}=\fbox{ソ}\,\vec a+\fbox{タ}\,\vec b\)。
(3) 辺 AC を 1:2 に内分する点を P、2:1 に内分する点を Q とし、F が線分 PQ 上を動く。\(\overrightarrow{OF}=(1-s)\vec a+s\vec c\) と表すと \(\dfrac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}\le s\le\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}\)。このとき △ADB の形状は ナ。
⓪ 常に直角三角形 ① 常に鋭角三角形 ② 常に鈍角三角形 ③ 直角・鋭角のどちらにもなる ④ 直角・鈍角のどちらにもなる ⑤ 直角・鋭角・鈍角のいずれにもなる
方針 ― 係数の和が 1
- 重心は3点の位置ベクトルの平均。
- F は直線 OE 上 → \(\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OE}\)。平面 ABC 上 → \(\vec a,\ \vec b,\ \vec c\) の係数の和が 1。
- (3) は F の式から D を逆算し、D がどこにあるかを見る。
(1) 重心と点 E（ア・イ）
△ADB が正三角形なら、OADB はひし形で \(\overrightarrow{OD}=\vec a+\vec b\)。
\[\overrightarrow{OG_1}=\frac{\vec a+\vec b}{3}\]
\[\overrightarrow{OG_2}=\frac{\vec a+\vec b+(\vec a+\vec b)}{3}=\frac23(\vec a+\vec b)\]
\[\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{G_1G_2}=\frac13\vec a+\frac13\vec b\]
ア＝③、イ＝③
(1) 平面 ABC との交点 F（ウ〜コ）
\[\overrightarrow{OE}=\vec c+\frac13\vec a+\frac13\vec b\]
\(\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OE}=\dfrac k3\vec a+\dfrac k3\vec b+k\vec c\)。F は平面 ABC 上なので係数の和が 1：
\[\frac k3+\frac k3+k=\frac{5k}{3}=1\ \Longrightarrow\ k=\frac35\]
\[\overrightarrow{OF}=\frac15\vec a+\frac15\vec b+\frac35\vec c\]
\(k=\dfrac35\)（ウ＝3、エ＝5）、\(\overrightarrow{OF}=\dfrac15\vec a+\dfrac15\vec b+\dfrac35\vec c\)（オ〜コ）
(2) F が重心になる D（サ〜タ）
\[\overrightarrow{OG_2}=\frac{\vec a+\vec b+\vec d}{3}\]
より \(\overrightarrow{G_1G_2}=\dfrac13\vec d\)（サ＝1、シ＝3）。よって \(\overrightarrow{OE}=\vec c+\dfrac13\vec d\)。
F が △ABC の重心なら \(\overrightarrow{OF}=\dfrac13(\vec a+\vec b+\vec c)\)。\(\vec c\) の係数を比べると、\(\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OE}\) の \(k\) は \(\dfrac13\)。
\[\frac13\left(\vec c+\frac13\vec d\right)=\frac13(\vec a+\vec b+\vec c)\]
\[\vec d=3\vec a+3\vec b\]
サ＝1、シ＝3、ス＝1、セ＝3、\(\overrightarrow{OD}=3\vec a+3\vec b\)（ソ＝3、タ＝3）
(3) F が線分 PQ 上を動くとき（チ〜ナ）
P は \(s=\dfrac13\)、Q は \(s=\dfrac23\) にあたるので \(\dfrac13\le s\le\dfrac23\)（チ＝1、ツ＝3、テ＝2、ト＝3）。
D は平面 OAB 上なので \(\vec d=x\vec a+y\vec b\) とおくと
\[k\overrightarrow{OE}=\frac{kx}{3}\vec a+\frac{ky}{3}\vec b+k\vec c\]
これが \((1-s)\vec a+s\vec c\) と等しいので \(k=s\)、\(y=0\)、\(x=\dfrac{3(1-s)}{s}\)。
\(\dfrac13\le s\le\dfrac23\) では \(x\) は \(\dfrac32\) 以上 6 以下。つまり D は直線 OA 上で A の先にあります。
すると \(\angle DAB=180^\circ-\angle OAB\)
\(\quad=180^\circ-60^\circ=120^\circ\)。D がどこにあっても △ADB は鈍角三角形です。
常に鈍角三角形（ナ＝②）
つまずきポイント
- \(\overrightarrow{CE}\) を \(\overrightarrow{OE}\) と取り違える。 \(\overrightarrow{OE}=\vec c+\overrightarrow{CE}\)。
- 「係数の和が 1」を \(k\) をかける前の \(\overrightarrow{OE}\) に使う。 和が 1 になるのは \(\overrightarrow{OF}\) の係数。
- (3) で D を求めずに図の印象で答える。 \(\vec b\) の係数が 0 になることから、D は OA の延長上と分かる。
要点まとめ
- 平面 ABC 上の点は \(\vec a,\ \vec b,\ \vec c\) の係数の和が 1。(1) \(k=\dfrac35\)、\(\overrightarrow{OF}=\dfrac15\vec a+\dfrac15\vec b+\dfrac35\vec c\)。
- (2) \(\overrightarrow{G_1G_2}=\dfrac13\vec d\)。F が重心なら \(\overrightarrow{OD}=3\vec a+3\vec b\)。
- (3) \(\dfrac13\le s\le\dfrac23\)。D は OA の延長上で \(\angle DAB=120^\circ\)、常に鈍角（ナ＝②）。
