共テ数学ⅡBC 第9回【第2問】接線の長さは三平方の定理で表し、等しい点の軌跡は直線になる ― 図形と方程式

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

解説動画（音声つき）

円の外の点から引いた接線の長さは、三平方の定理で「中心までの距離²−半径²」と表せます。 2つの円への接線の長さが等しい点の軌跡は直線になり、その直線上の点を中心とする円 \(K\) の半径も、同じ式で計算できます。

この回で扱う問題

座標平面上に2つの円 \(C_1:\ x^2+y^2=1\)、\(C_2:\ (x-4)^2+(y-3)^2=4\) がある。\(C_1\) 上の動点 A における \(C_1\) の接線と、\(C_2\) 上の動点 B における \(C_2\) の接線の交点を \(P(x,\ y)\) とし、\(PA=PB\) が成り立つ点 P の軌跡を考える。

\(OA=\) ア、\(C_2\) の中心を \(C_2\) として \(C_2B=\) イ。点 P の軌跡は \(4x+\)ウ\(y-\)エオ\(=0\) …①。

直線①上に点 Q をとり、Q から \(C_1\) に引いた接線の接点を R、S、\(C_2\) に引いた接線の接点を T、U とする。4点 R、S、T、U は Q を中心とする円 \(K\) の周上にある。

Q の \(x\) 座標が 2 のとき、\(K\) の半径はカ、\(\tan\angle RQS=\dfrac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}\)。\(K\) の半径が最小になるとき、Q の座標は \(\left(\dfrac{\fbox{ケコ}}{25},\ \dfrac{\fbox{サシ}}{25}\right)\)。

方針 ― 接線の長さは三平方の定理

接線は接点で半径に垂直。\(\triangle OPA\) は \(\angle A=90^\circ\) の直角三角形。
\(PA^2=OP^2-OA^2\)、\(PB^2=PC_2^{\,2}-C_2B^2\)。
\(\angle RQS\) は \(\angle RQO\) の2倍。tan の2倍角の公式を使う。

半径と軌跡（ア〜エオ）

A、B は円周上の点なので \(OA=1\)、\(C_2B=2\) です。

\[PA^2=OP^2-1=x^2+y^2-1\]

\[PB^2=PC_2^{\,2}-4\]

\[=(x-4)^2+(y-3)^2-4\]

\(PA=PB\) より2式が等しいので、\(x^2,\ y^2\) が消えて

\[-1=-8x-6y+21\]

\[4x+3y-11=0\]

直線①上の点 P から2つの円に引いた接線の長さ PA と PB は等しい

\(OA=1\)（ア＝1）、\(C_2B=2\)（イ＝2）、\(4x+3y-11=0\)（ウ＝3、エオ＝11）

Q(2, 1) のときの円 K（カ〜ク）

\(x=2\) を①に入れると \(8+3y=11\)、\(y=1\)。Q\((2,\ 1)\) です。

\[QR^2=OQ^2-1=5-1=4\]

より \(QR=2\) です。

（\(QT^2=QC_2^{\,2}-4=(4+4)-4=4\) でも同じ 2。①上の点なので当然一致します。）

\(\triangle OQR\) で \(\tan\angle RQO=\dfrac{OR}{QR}=\dfrac12\)。\(\angle RQS=2\angle RQO\) なので

\[\tan\angle RQS=\frac{2\cdot\frac12}{1-\left(\frac12\right)^2}=\frac{1}{\frac34}=\frac43\]

半径 2（カ＝2）、\(\tan\angle RQS=\dfrac43\)（キ＝4、ク＝3）

半径が最小になる Q（ケコ・サシ）

\(K\) の半径は \(\sqrt{OQ^2-1}\) なので、OQ が最小のとき最小です。Q は直線①上を動くので、O から①に下ろした垂線の足を求めます。

①の法線ベクトルは \((4,\ 3)\)。垂線の足は \(k(4,\ 3)\) とおけて、①に代入すると \(16k+9k=11\)、\(k=\dfrac{11}{25}\)。

\[Q\left(\frac{44}{25},\ \frac{33}{25}\right)\]

Q(2, 1) を中心とする半径2の円 K。半径が最小になるのは O から直線①への垂線の足 H

\(\left(\dfrac{44}{25},\ \dfrac{33}{25}\right)\)（ケコ＝44、サシ＝33）

つまずきポイント

接線の長さを OP と取りちがえる。 接線の長さは \(\sqrt{OP^2-r^2}\)。半径の2乗を引く。
\(\tan\angle RQS\) を \(\dfrac12\) と答える。 \(\dfrac12\) は半分の角 \(\angle RQO\) の値。2倍角にする。
半径最小を Q の \(x\) 座標の微分で探す。 OQ 最小 ⇔ 垂線の足、で一発。