この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(z=\cos\dfrac{2\pi}{7}+i\sin\dfrac{2\pi}{7}\) は \(z^7=1\) を満たす 1 の7乗根です。 \(|z|=1\) なので \(\overline{z}=\dfrac1z=z^6\)。\(z\) と \(z^6\)、\(z^2\) と \(z^5\)、\(z^3\) と \(z^4\) が共役の組になります。 \(\alpha+\overline{\alpha}\) と \(\alpha\overline{\alpha}\) がわかれば、解と係数の関係で \(\alpha\) が求まります。
この回で扱う問題
\(z=\cos\dfrac{2\pi}{7}+i\sin\dfrac{2\pi}{7}\)（\(i\) は虚数単位）とおく。
(1) \(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6\) を求めよ。
(2) \(\alpha=z+z^2+z^4\) とするとき、\(\alpha+\overline{\alpha}\)、\(\alpha\overline{\alpha}\) および \(\alpha\) を求めよ。ただし、\(\overline{\alpha}\) は \(\alpha\) の共役複素数である。
(3) \((1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)\) を求めよ。
（千葉大）
方針 ― z⁷ = 1 と共役の組
- ド・モアブルの定理で \(z^7=\cos2\pi+i\sin2\pi=1\)。
- \(|z|=1\) なので \(\overline{z}=\dfrac1z=z^6\)。同じように \(\overline{z^2}=z^5\)、\(\overline{z^4}=z^3\)。
- 和と積がわかれば、\(\alpha,\ \overline{\alpha}\) を解にもつ2次方程式が作れる。
(1) 等比数列の和
\(z^7=1\) で \(z\ne1\)。初項 \(z\)、公比 \(z\)、項数 6 の等比数列の和なので
\[z+z^2+\cdots+z^6=\frac{z(1-z^6)}{1-z}\]
\[=\frac{z-z^7}{1-z}=\frac{z-1}{1-z}\]
\[z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=-1\]
（\(z^7-1=(z-1)(z^6+z^5+\cdots+z+1)=0\) と \(z\ne1\) から \(1+z+\cdots+z^6=0\)、としても同じです。）
(2) α + ᾱ
\(z^7=1\) より \(z^6=\dfrac1z=\overline{z}\)、\(z^5=\dfrac1{z^2}=\overline{z}^{\,2}\)、\(z^3=\dfrac1{z^4}=\overline{z}^{\,4}\)。よって
\[\overline{\alpha}=\overline{z}+\overline{z}^{\,2}+\overline{z}^{\,4}=z^6+z^5+z^3\]
\[\alpha+\overline{\alpha}=z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6\]
\[\alpha+\overline{\alpha}=-1\]
(2) αᾱ
展開して、\(z^7=1\) で次数を下げます（\(z^8=z,\ z^9=z^2,\ z^{10}=z^3\)）。
\[\alpha\overline{\alpha}=(z+z^2+z^4)(z^6+z^5+z^3)\]
\[=z^7+z^6+z^4+z^8+z^7+z^5+z^{10}+z^9+z^7\]
\[=(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)+3\]
\[\alpha\overline{\alpha}=-1+3=2\]
(2) α を求める
\(\alpha,\ \overline{\alpha}\) は、和 \(-1\)、積 2 の2数なので、解と係数の関係より2次方程式
\[x^2+x+2=0\]
の2つの解です。\(x=\dfrac{-1\pm\sqrt7\,i}{2}\)。
どちらが \(\alpha\) かは虚部の符号で決めます。\(\alpha\) の虚部は
\[\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7}\]
\[=\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7}\]
\(0\lt\dfrac\pi7\lt\dfrac{2\pi}7\lt\dfrac\pi2\) より \(\sin\dfrac{2\pi}7\gt\sin\dfrac\pi7\)、さらに \(\sin\dfrac{4\pi}7\gt0\) なので、虚部は正。
\[\alpha=\frac{-1+\sqrt7\,i}{2}\]
(3) x⁷ − 1 の因数分解に x = 1 を入れる
\(1,\ z,\ z^2,\ \cdots,\ z^6\) は \(x^7=1\) の異なる7つの解なので
\[x^7-1=(x-1)(x-z)(x-z^2)\cdots(x-z^6)\]
一方 \(x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+\cdots+x+1)\) だから、両辺を \(x-1\) で割って
\[(x-z)(x-z^2)\cdots(x-z^6)\]
\[=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\]
これは \(x\) についての恒等式なので、\(x=1\) を代入して
\[(1-z)(1-z^2)(1-z^3)\]\[\times(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)=7\]
（別解：\((1-z)(1-z^2)(1-z^4)=\overline{\alpha}-\alpha\)、残り3つの積はその共役になるので、全体は \(|\overline{\alpha}-\alpha|^2=|-\sqrt7\,i|^2=7\)。）
つまずきポイント
- \(\overline{\alpha}\) を作るのに \(\cos,\ \sin\) を全部書き下す。 \(|z|=1\) なら \(\overline{z}=\dfrac1z=z^6\)。累乗のまま扱える。
- 展開のあと次数を下げ忘れる。 \(z^7=1\) で、\(z^8=z\)、\(z^{10}=z^3\) とまとめる。
- 2次方程式の解の両方を答える。 \(\alpha\) は1つ。虚部の符号を \(\sin\) の大小で決める。
- \(\sin\dfrac{8\pi}7\) の符号を間違える。 \(\sin\dfrac{8\pi}{7}=-\sin\dfrac\pi7\lt0\)。だから大小の比較が要る。
要点まとめ
- \(z^7=1,\ z\ne1\) なら \(1+z+z^2+\cdots+z^6=0\)。
- \(|z|=1\) なら \(\overline{z}=\dfrac1z\)。1 の7乗根では \(\overline{z}=z^6,\ \overline{z^2}=z^5,\ \overline{z^4}=z^3\)。
- \(\alpha+\overline{\alpha}=-1,\ \alpha\overline{\alpha}=2\) → \(x^2+x+2=0\)。虚部の符号で \(\alpha=\dfrac{-1+\sqrt7\,i}{2}\)。
- \(x^7-1=(x-1)(x-z)\cdots(x-z^6)\) に \(x=1\) を入れる発想で (3) は 7。
