この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
楕円でおさえることは2つ。楕円上の点での接線は公式 \(\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1\) で一発。 その直線がもう一つの楕円にも接する（共通接線）条件は、代入して判別式 ＝ 0。
この回で扱う問題
座標平面において、楕円 \(x^2+\dfrac{y^2}{6}=1\) 上の点 \(\left(\dfrac{\sqrt{30}}{6},\ -1\right)\) における接線 \(\ell\) の方程式は \(y=\)ア である。 この直線 \(\ell\) が楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1\ (a\gt 0)\) にも接しているとき、\(a=\)イ である。
（成蹊大）
方針 ― 楕円でおさえること
- 楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 上の点 \((x_1,\ y_1)\) における接線は \(\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1\)。接点を代入するだけ。
- 直線と2次曲線が接する ⇔ 代入してできる2次方程式が重解をもつ ⇔ 判別式 \(D=0\)。
ア ― 接線の公式
\(x^2+\dfrac{y^2}{6}=1\)（\(a^2=1,\ b^2=6\)）上の点 \(\left(\dfrac{\sqrt{30}}{6},\ -1\right)\) での接線は
\[\frac{\sqrt{30}}{6}x+\frac{(-1)\cdot y}{6}=1\]
両辺を 6 倍して \(\sqrt{30}\,x-y=6\)。
ア：\(\sqrt{30}\,x-6\)
イ ― 代入して判別式 ＝ 0
\(y=\sqrt{30}\,x-6\) を \(\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1\) に代入すると
\[\frac{x^2}{a^2}+(\sqrt{30}\,x-6)^2=1\]
\[\left(\frac{1}{a^2}+30\right)x^2-12\sqrt{30}\,x+35=0\]
楕円と直線 \(\ell\) が接するので、判別式 \(D=0\)。
\[\frac{D}{4}=(6\sqrt{30})^2-\left(\frac{1}{a^2}+30\right)\cdot35\]
\[=1080-\frac{35}{a^2}-1050=30-\frac{35}{a^2}=0\]
よって \(a^2=\dfrac76\)。\(a\gt 0\) なので
イ：\(a=\sqrt{\dfrac76}=\dfrac{\sqrt{42}}{6}\)
別の見方：接線の公式どうしを比べる
\(\ell\) と楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1\) の接点を \((p,\ q)\) とすると、その点での接線は \(\dfrac{p}{a^2}x+qy=1\)。 これが \(\ell:\ \dfrac{\sqrt{30}}{6}x-\dfrac16y=1\) と一致するので
\[\frac{p}{a^2}=\frac{\sqrt{30}}{6},\qquad q=-\frac16\]
\((p,\ q)\) は楕円上の点なので \(\dfrac{p^2}{a^2}+q^2=1\)、つまり \(\dfrac{p^2}{a^2}=\dfrac{35}{36}\)。 2式を割り算すると \(p=\dfrac{35}{6\sqrt{30}}\)、これを戻して \(a^2=\dfrac{6}{\sqrt{30}}\cdot\dfrac{35}{6\sqrt{30}}=\dfrac76\)。同じ答えになります。
つまずきポイント
- 接線の公式で \(b^2=6\) を落とす。 \(\dfrac{y^2}{6}\) の部分は \(\dfrac{y_1y}{6}\) になります。
- 判別式の計算ミス。 \((6\sqrt{30})^2=36\cdot30=1080\)。\(30\cdot35=1050\) と打ち消し合って \(30-\dfrac{35}{a^2}\) が残ります。
- \(a^2\) で止める。 \(a\gt 0\) なので \(a=\sqrt{\dfrac76}\)、分母を有理化して \(\dfrac{\sqrt{42}}{6}\)。
要点まとめ
- 楕円上の点 \((x_1,\ y_1)\) での接線：\(\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1\)（接点を代入するだけ）。
- 共通接線：もう一方の曲線に代入して、判別式 \(D=0\)。
- 答え：ア \(\sqrt{30}\,x-6\)、イ \(\dfrac{\sqrt{42}}{6}\)。
