共テ数学ⅡBC 第8回【難問ポイント】群数列の和・検定の結論・三垂線・極座標の円、差がつく4か所 ― 第4〜7問ダイジェスト

第8回（第4〜7問）のうち、差がつく4か所だけを短い動画にまとめました。各問の全体の解説は、下のリンク先の記事にあります。

解説動画（音声つき）

第8回（第4〜7問）のうち、定番の計算ではなく数え方・結論の言い方・図形の見方で差がつく4か所だけを集めました。解き終わったあとの見直しや、試験直前の確認に使ってください。

この記事で扱う4か所

① 第4問(3)　\(\ll\sqrt{k}\gg\) の和は第13群の途中まで。有理化の和は値をはさむ（キ〜ス）

② 第5問(2)(3)　信頼区間の幅と意味、棄却できないときの結論（サ〜テ）

③ 第6問　三垂線で H の位置を決め、座標を出さずに内積で判断する（キ、ソ）

④ 第7問〔2〕　比の条件を余弦定理で極方程式にし、中心と半径を読む（サ〜チ）

第4問(1)(2) の群の範囲、第5問(1) の標本平均の確率、第6問の大きさと内積・\(r\) の計算、第7問〔1〕の複素数平面は定番の処理なので、ここでは省きます。

① 第13群の途中までの和（第4問・キ〜ス）

四捨五入して \(n\) になるのは \(n-\dfrac12<\sqrt{k}<n+\dfrac12\)、つまり \(n^2-n+1\le k\le n^2+n\) で、第 \(n\) 群は \(2n\) 個です。

第 n 群には k = n² − n + 1 〜 n² + n の 2n 個が入る

\(13^2=169<180<182.25=13.5^2\) なので \(\sqrt{180}\) は第13群。第13群は \(157\le k\le182\) で、10の倍数は160、170、180 の3つです（キ＝3）。

第 \(n\) 群の和は \(n\times2n=2n^2\)。第12群までで

\[\sum_{n=1}^{12}2n^2=1300\]

第13群は182まで足さず、\(k=157\) 〜 \(180\) の24個だけです。

\[1300+13\times24=1612\]

（クケコサ＝1612）

\(\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\) と有理化して足すと、途中が消えて \(\sqrt{181}-1\)。

\[13.4^2=179.56<181<182.25=13.5^2\]

\[12.4<\sqrt{181}-1<12.5\]

四捨五入して 12（シス＝12）

② 区間の幅と検定の結論（第5問・サ〜テ）

\(\sigma=0.04\) として、2通りの区間の幅は

\[L=(1.96+1.96)\sigma=3.92\sigma\]

\[L'=(1.67+2.81)\sigma=4.48\sigma\]

面積（確率）が同じなら、真ん中を左右対称にとる区間がいちばん短いのです。

\(L<L'\)（サ＝⓪）

信頼区間の意味：母比率 \(p\) は決まった1つの数で、動くのは標本から作る区間のほうです。何度も区間を作ると、約95%が \(p\) を含みます（シ＝③）。「\(p\) が95%の確率で区間に入る」とは読みません。

z = 1.25 は棄却域（z ≧ 1.64）に入らない

(3) は帰無仮説「母比率は0.20」、対立仮説「0.20より大きい」。平均20、標準偏差4なので

\[z=\frac{25-20}{4}=1.25<1.64\]

棄却域に入りません（ツ＝①）。このとき「増えていない」と言いきらず、「増えたとは判断できない」が正しい結論です。

増えたとは判断できない（テ＝②）

③ 三垂線と内積（第6問・キ、ソ）

BH は平面 OAC に垂直、BP は OA に垂直です。\(\overrightarrow{\mathrm{HP}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}\) と分けると、どちらも \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) との内積が0なので、HP も OA に垂直です。

平面 OAC の中で、P を通って OA に垂直な直線は1本だけなので、H は直線 CP 上にあります。