この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
空間の「垂直」はすべて内積＝0に言いかえられます。 さらに、平面上の点 H について「BH が平面に垂直、BP が直線に垂直なら HP も直線に垂直」という三垂線の考えを使うと、垂線の足がどの直線の上にあるかが計算なしで分かります。
この回で扱う問題
O を原点とする座標空間に四面体 OABC があり、A(2, 4, −2)、B(1, 2, 2)。直線 OA 上に点 P、直線 OB 上に点 Q をとる。\(|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\)ア\(\sqrt{\fbox{イ}}\)、\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\)ウ。
(1) B から直線 OA に引いた垂線の足が P のとき、\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\)エ を使うと \(|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\dfrac{\sqrt{\fbox{オ}}}{\fbox{カ}}\)。
平面 OAC 上に点 H（C、P と異なる）をとるとき、次の正誤の組合せ キ。
(I) BH ⊥ OA ならば HP ⊥ OA (II) BH ⊥ AC かつ BH ⊥ OC ならば HP ⊥ OA (III) CP ⊥ OA かつ BH ⊥ OA ならば H は直線 CP 上
(2) C(\(p,\ q,\ r\))（\(p\gt 0\)）とする。BP ⊥ OA かつ CP ⊥ OA のとき \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\)ク、\(p+\)ケ\(q-r=\)コ …①。 AQ ⊥ OB かつ CQ ⊥ OB のとき \(p+\)サ\(q+\)シ\(r=\)ス …②。①②から \(r=\)セ。 さらに OB ＝ OC のとき、B から平面 OAC への垂線の足 H₁、C から平面 OAB への垂線の足 H₂ について分かること ソ。
方針 ― 垂直は内積0、垂線の足は三垂線で
- BP ⊥ OA なら \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=0\)、つまり \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)。
- \(\overrightarrow{\mathrm{HP}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}\) と分けると、HP ⊥ OA が内積で示せる。
- 平面上で、点 P を通り OA に垂直な直線は1本だけ。
大きさと内積（ア〜ウ）
\[|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt6\]
\[\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=2+8-4=6\]
（ア＝2、イ＝6、ウ＝6）
(1) |OP| を求める（エ〜カ）
BP ⊥ OA なので \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})=0\)、つまり
\[\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}\]
P は OA 上で、内積が正なので OP は OA と同じ向き。\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}||\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\) より
\[|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{6}{2\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{2}\]
（エ＝②、オ＝6、カ＝2）
(1) 3つの記述の正誤（キ）
(I) \(\overrightarrow{\mathrm{HP}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}\) と分けると
\[\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HP}}\]
\[=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HB}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BP}}\]
\[=0+0=0\]
よって HP ⊥ OA。正しい。
(II) BH が平面 OAC 上の平行でない2直線 AC、OC に垂直なので、BH は平面 OAC に垂直。とくに BH ⊥ OA となり、(I) から HP ⊥ OA。正しい。
(III) (I) から HP ⊥ OA。CP ⊥ OA でもある。平面 OAC 上で、P を通り OA に垂直な直線は1本だけなので、H は直線 CP 上。正しい。
すべて正しい（キ＝⓪）
(2) 条件を p, q, r の式に（ク〜セ）
BP ⊥ OA かつ CP ⊥ OA なので、\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}-\overrightarrow{\mathrm{PB}}\) も OA に垂直です。
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0\)（ク＝0）
よって \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=6\)。成分で書くと \(2p+4q-2r=6\) なので
\[p+2q-r=3\quad\cdots①\]
同じように AQ ⊥ OB かつ CQ ⊥ OB から \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}=6\)。
\[p+2q+2r=6\quad\cdots②\]
②−① より \(3r=3\)。
（ケ＝2、コ＝3、サ＝2、シ＝2、ス＝6）、\(r=1\)（セ＝1）
(2) H₁H₂ と BC、OC と AB（ソ）
BH₁ は平面 OAC に垂直なので BH₁ ⊥ OA。CP ⊥ OA でもあるから、(1)(III) と同じ理由で H₁ は直線 CP 上。同様に H₂ は直線 BP 上にあります。
△BOP と △COP は、OP が共通で斜辺 OB ＝ OC の直角三角形なので合同。よって PB ＝ PC。
H₁ は B から直線 PC に、H₂ は C から直線 PB に下ろした垂線の足なので
\[\mathrm{PH_1}=\mathrm{PB}\cos\angle\mathrm{BPC}\]
\[=\mathrm{PC}\cos\angle\mathrm{BPC}=\mathrm{PH_2}\]
PB : PH₂ ＝ PC : PH₁ となるので H₁H₂ ∥ BC。
また、①②で使った \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=6\) から
\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=0\]
なので OC ⊥ AB です。
H₁H₂ ∥ BC、OC ⊥ AB（ソ＝⓪）
つまずきポイント
- (II) で「AC と OC に垂直」から平面に垂直と言えないと思う。 平面上の平行でない2直線に垂直なら、平面に垂直。
- ソで C の座標を出そうとする。 \(q\) は無理数になり大変。合同と内積の関係だけで判断できる。
- OC ⊥ AB を OB ＝ OC から出そうとする。 使うのは \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) のほう。
要点まとめ
- \(|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2\sqrt6\)、\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=6\)、\(|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\dfrac{\sqrt6}{2}\)。
- 三垂線：BH ⊥ 平面、BP ⊥ OA なら HP ⊥ OA。(I)(II)(III) すべて正しい。
- \(p+2q-r=3\)、\(p+2q+2r=6\) から \(r=1\)。PB ＝ PC で H₁H₂ ∥ BC、内積で OC ⊥ AB（⓪）。
