この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
原点を中心とする回転と拡大は、複素数のかけ算です。\(\omega\) をかけると \(\dfrac23\pi\) 回転。 △ABC の内角は \(\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\) の偏角で調べ、直角が見つかれば対称点は簡単に求まります。 直線に関して裏返した図形では、対応する比が共役になることを使います。
この回で扱う問題
△ABC の内部に点 O があり、\(\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=\dfrac23\pi\)、\(OB=2OA\)、\(OC=4OA\)。3点 A、B、C はこの順に O から見て反時計回りに並ぶ。O を原点とする複素数平面上に \(A(\alpha)\) をとる。偏角 \(\theta\) は \(-\pi\lt\theta\le\pi\)。
\(\omega=\cos\dfrac23\pi+i\sin\dfrac23\pi\) とすると、B は ア\(\,\omega\alpha\)、C は（イ）\(\alpha\)（⓪ \(2\omega\) ① \(4\omega\) ② \(2\omega^2\) ③ \(4\omega^2\)）。\(\angle BAC=\arg\)（ウ）であるから、\(\angle BAC\) は エ（⓪ 鋭角 ① 直角 ② 鈍角）。
ウ：⓪ \(\frac{2\omega}{1+2\omega}\) ① \(\frac{2\omega}{1-2\omega}\) ② \(\frac{1}{2\omega}\) ③ \(\frac{-1}{2\omega}\) ④ \(\frac{-2\omega}{1+2\omega}\) ⑤ \(\frac{-2\omega}{1-2\omega}\) ⑥ \((2\omega-1)\) ⑦ \((2\omega+1)\)
以下 \(\alpha\) を正の実数とする。\(B(\beta)\)、\(C(\gamma)\)。直線 CA に関して B と対称な点を \(D(\delta)\)、O と対称な点を \(E(z)\) とする。
\(\delta=\left(\fbox{オ}-\sqrt{\fbox{カ}}\,i\right)\alpha\)。
\(p=\dfrac{\beta-\alpha}{0-\alpha}\)、\(q=\dfrac{\delta-\alpha}{z-\alpha}\) とすると、\(p\) と \(q\) の キ および ク はそれぞれ常に等しい（⓪ 絶対値 ① 偏角 ② 実部 ③ 虚部、順不同）。\(z=\dfrac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}\left(\fbox{サ}-\sqrt{\fbox{シ}}\,i\right)\alpha\)。
方針 ― 回転はかけ算、裏返しは共役
- \(\dfrac23\pi\) 回転して距離 2 倍 → \(2\omega\) をかける。
- \(\angle BAC=\arg\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\)。純虚数なら直角。
- 直線に関する対称移動は「裏返し」。対応する比は共役になる。
B と C、∠BAC（ア〜エ）
B は A を \(\dfrac23\pi\) 回転して 2 倍、C は B をさらに \(\dfrac23\pi\) 回転して 2 倍なので
\[\beta=2\omega\alpha,\qquad \gamma=4\omega^2\alpha\]
\[\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac{4\omega^2-1}{2\omega-1}\]
\[=\frac{(2\omega-1)(2\omega+1)}{2\omega-1}=2\omega+1\]
\(2\omega=-1+\sqrt3\,i\) なので \(2\omega+1=\sqrt3\,i\)。純虚数（偏角 \(\dfrac{\pi}{2}\)）なので \(\angle BAC\) は直角です。
ア＝2、イ＝③、ウ＝⑦、エ＝①（直角）
B の対称点 D（オ・カ）
\(\alpha\gt 0\) のとき \(\beta=(-1+\sqrt3\,i)\alpha\)、\(\gamma=(-2-2\sqrt3\,i)\alpha\)。
\(\angle BAC=90^\circ\) なので、B から直線 CA に下ろした垂線の足は A そのものです。対称点 D は、A が BD の中点になる点：
\[\delta=2\alpha-\beta=(3-\sqrt3\,i)\alpha\]
\(\delta=(3-\sqrt3\,i)\alpha\)（オ＝3、カ＝3）
O の対称点 E（キ〜シ）
直線 CA に関して裏返すと、A は動かず、O は E に、B は D に移ります。△AOB と △AED は合同で、向きだけが逆です。
\(p=\dfrac{\beta-\alpha}{0-\alpha}\) は「AO を AB に重ねる回転と拡大」、\(q=\dfrac{\delta-\alpha}{z-\alpha}\) は「AE を AD に重ねる回転と拡大」。大きさが同じで回転の向きが逆なので、\(q=\bar p\)。共役どうしは絶対値と実部が等しくなります（偏角と虚部は符号が逆）。
\[p=\frac{(-2+\sqrt3\,i)\alpha}{-\alpha}=2-\sqrt3\,i\]
\[q=\bar p=2+\sqrt3\,i\]
\[z-\alpha=\frac{\delta-\alpha}{q}=\frac{(2-\sqrt3\,i)\alpha}{2+\sqrt3\,i}\]
\[=\frac{(2-\sqrt3\,i)^2}{7}\alpha=\frac{1-4\sqrt3\,i}{7}\alpha\]
\[z=\frac{8-4\sqrt3\,i}{7}\alpha=\frac47(2-\sqrt3\,i)\alpha\]
キ・ク＝⓪・②（順不同）、\(z=\dfrac47(2-\sqrt3\,i)\alpha\)（ケ＝4、コ＝7、サ＝2、シ＝3）
つまずきポイント
- C を \(4\omega\alpha\) とする。 2回回転するので \(\omega^2\)、距離は \(2\times2=4\) 倍。
- \(\angle BAC\) を \(\dfrac{\beta-\alpha}{\gamma-\alpha}\) で考えて選択肢を探す。 ここでは \(\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\) を因数分解する。
- 裏返しを回転と同じに扱い、\(q=p\) とする。 向きが逆なので \(q=\bar p\)。等しいのは絶対値と実部。
要点まとめ
- \(\beta=2\omega\alpha\)、\(\gamma=4\omega^2\alpha\)、\(\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=2\omega+1=\sqrt3\,i\) で \(\angle BAC=90^\circ\)。
- 直角なので D は A に関して B と点対称：\(\delta=2\alpha-\beta=(3-\sqrt3\,i)\alpha\)。
- 裏返しは共役：\(q=\bar p=2+\sqrt3\,i\)、\(z=\dfrac47(2-\sqrt3\,i)\alpha\)。
