共テ数学ⅡBC 第8回【第5問】標本比率は正規分布で近似し、信頼区間の幅と検定は z で判断する ― 統計的な推測

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

標本平均も標本比率も、標本が大きければ正規分布で近似できます。 あとは「平均と標準偏差を出す → 標準化して z を求める → 正規分布表を読む」の3手順。信頼区間の幅も、仮説検定の判断も、すべて z の位置で決まります。

この回で扱う問題

方針 ― 平均・標準偏差 → z → 正規分布表

• 標本平均：平均 \(m\)、標準偏差 \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)。
• 標本比率：平均 \(p\)、標準偏差 \(\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\)。個数なら平均 \(np\)、標準偏差 \(\sqrt{np(1-p)}\)。
• 標準化 \(Z=\dfrac{X-\text{平均}}{\text{標準偏差}}\) で、正規分布表を読む。

(1) 標本平均の分布（ア〜エオ）

\[E(\overline{X})=3.6,\qquad \sigma(\overline{X})=\frac{0.9}{\sqrt{100}}=0.09\]

(1) X̄ > 3.8 となる確率（カキク）

標準化すると

\[z=\frac{3.8-3.6}{0.09}=2.22\cdots\]

正規分布表で \(z_0=2.22\) は 0.4868 なので

\[P(\overline{X}\gt 3.8)=0.5-0.4868=0.0132\]

(2) 標本比率の標準偏差（ケコ）

\(p\) のかわりに標本比率 0.20 を使って

\[\sigma=\sqrt{\frac{0.20\times 0.80}{100}}=\sqrt{0.0016}=0.04\]

(2) 信頼区間の幅 L と L′（サ）

\(-1.96\le Z\le 1.96\) から作ると幅は \(L=(1.96+1.96)\sigma=3.92\sigma\)。

\(-1.67\le Z\le 2.81\) から作ると幅は \(L'=(1.67+2.81)\sigma=4.48\sigma\)。

どちらも面積は 0.95 ですが、正規分布は真ん中が高いので、左右対称にとるのが最も短くなります。

(2) 信頼区間の意味（シ）

母比率 \(p\) は決まった1つの値で、動くのは標本から作る区間のほうです。「標本を何度もとり直して区間を作ると、そのうち約95%が \(p\) を含む」が正しい解釈です。

• ⓪ 区間は標本の割合を言っていない。
• ① 標本比率 \(R\) が区間 \([A,\ B]\) に入る確率ではない。
• ② 区間はもともと \(R\) を中心に作るので、含むのは当たり前。

(3) 仮説を立てる（ス・セ）

「増えたかどうか」だけを調べるので、片側検定です。

(3) X′ の分布と判断（ソタ〜テ）

帰無仮説のもとで、100世帯のうち4万円以上の世帯数 \(X'\) は二項分布 \(B(100,\ 0.20)\) に従うので

\[E(X')=100\times 0.20=20\]

\[\sigma(X')=\sqrt{100\times 0.20\times 0.80}=4\]

調査では \(X'=25\) なので

\[z=\frac{25-20}{4}=1.25\]

棄却域は \(Z'\ge 1.64\)。\(1.25\lt 1.64\) なので棄却域に入らず、帰無仮説は棄却されません。

つまずきポイント