この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(\int_{-\pi}^{\pi}\) のように区間が原点対称なら、 計算を始める前に偶関数か奇関数かを必ず調べます。 この回はそれと「積 → 和」の公式を組み合わせて、三角関数の直交性にたどり着きます。
この回で扱う問題（琉球大）
(1) 定積分 \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x\sin 2x\,dx\) を求めよ。
(2) \(m,\ n\) が自然数のとき、定積分 \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx\) を求めよ。
(3) \(a,\ b\) を実数とする。\(a,\ b\) の値を変化させたときの定積分 \(\displaystyle I=\int_{-\pi}^{\pi}(x-a\sin x-b\sin 2x)^{2}dx\) の最小値、およびそのときの \(a,\ b\) の値を求めよ。
偶関数・奇関数の見分け方
\(x\) に \(-x\) を代入して、元に戻れば偶関数、符号が変われば奇関数です。
\[\int_{-a}^{a}(\text{偶関数})dx=2\int_{0}^{a}(\text{偶関数})dx, \qquad \int_{-a}^{a}(\text{奇関数})dx=0\]
(1) \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x\sin 2x\,dx\)
\((-x)\sin 2(-x)=(-x)(-\sin 2x)=x\sin 2x\) なので、\(x\sin 2x\) は偶関数。 （奇関数×奇関数＝偶関数）
\[\int_{-\pi}^{\pi}x\sin 2x\,dx=2\int_{0}^{\pi}x\sin 2x\,dx\]
あとは部分積分。\(\sin 2x=\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)'\) を使います。
\[2\int_{0}^{\pi}x\left(-\tfrac{1}{2}\cos 2x\right)'dx =2\left(\Big[-\tfrac{1}{2}x\cos 2x\Big]_{0}^{\pi}+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos 2x\,dx\right)\]
\(\left[\frac{1}{2}\sin 2x\right]_{0}^{\pi}=0\) なので、残るのは第1項だけです。
\[\int_{-\pi}^{\pi}x\sin 2x\,dx=-\pi\]
(2) \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx\) ― 積は和に直す
\(\sin m(-x)\sin n(-x)=\sin mx\sin nx\) なので偶関数。さらに積を和に直します。
\[\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\]
\[\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx =\int_{0}^{\pi}\{\cos(m-n)x-\cos(m+n)x\}dx \quad\cdots\text{①}\]
ここで場合分けが要ります。\(\cos(m-n)x\) を積分すると分母に \(m-n\) が出るからです。
(i) \(m\neq n\) のとき
\[①=\left[\frac{\sin(m-n)x}{m-n}-\frac{\sin(m+n)x}{m+n}\right]_{0}^{\pi}\]
\(m\pm n\) は整数なので \(\sin(m-n)\pi=\sin(m+n)\pi=0\)。よって \(0\)。
(ii) \(m=n\) のとき
\(\cos(m-n)x=\cos 0=1\) となり、①は
\[\int_{0}^{\pi}(1-\cos 2mx)dx=\left[x-\frac{\sin 2mx}{2m}\right]_{0}^{\pi}=\pi\]
\[\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx= \begin{cases}0 & (m\neq n)\\[2pt] \pi & (m=n)\end{cases}\]
これが三角関数の直交性です。フーリエ級数の出発点でもあります。
(3) 展開すると (1)(2) がそのまま出てくる
\[I=\int_{-\pi}^{\pi}(x^{2}+a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\sin^{2}2x-2ax\sin x+2ab\sin x\sin 2x-2bx\sin 2x)dx\]
項ごとに、偶奇と(2)の結果で片づきます。
| 項 | 使うもの | 値 |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}dx\) | 偶関数 | \(\frac{2}{3}\pi^{3}\) |
| \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}x\,dx\) | (2) の \(m=n=1\) | \(\pi\) |
| \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}2x\,dx\) | (2) の \(m=n=2\) | \(\pi\) |
| \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\sin 2x\,dx\) | (2) の \(m\neq n\) | \(0\) |
| \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx\) | 偶関数＋部分積分 | \(2\pi\) |
| \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x\sin 2x\,dx\) | (1) | \(-\pi\) |
まとめると
\[I=\frac{2}{3}\pi^{3}+\pi a^{2}+\pi b^{2}-4\pi a+2\pi b\]
\(a,\ b\) が分離した2次式なので、それぞれ平方完成すれば終わりです。
\[I=\pi(a-2)^{2}+\pi(b+1)^{2}+\frac{2}{3}\pi^{3}-5\pi\]
\[\text{最小値 } \frac{2}{3}\pi^{3}-5\pi \qquad (a=2,\ b=-1)\]
\(\sin x\sin 2x\) の積分が \(0\)（直交性）だから \(ab\) の項が消え、 \(a\) と \(b\) を別々に最小化できました。これが(2)を先に解かせた理由です。
つまずきポイント
- \(m\neq n\) と \(m=n\) の場合分けを忘れる。 \(\frac{1}{m-n}\) と書いた瞬間に \(m\neq n\) を仮定しています。分母に文字が出たら 0 の可能性を疑う。
- \(x\sin 2x\) を奇関数だと思ってしまう。 奇関数×奇関数は偶関数です。\(\int_{-\pi}^{\pi}=2\int_{0}^{\pi}\) になります。
- 積 → 和の公式の符号ミス。 \(\sin\alpha\sin\beta\) は \(-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\)。 \(\cos\alpha\cos\beta\) との符号の違いに注意。
- (3) を \(a,b\) で微分して解こうとする。 できなくはありませんが、分離した2次式なら平方完成のほうが速くて確実です。
要点まとめ
- 区間が原点対称なら、計算前に偶奇の判定。奇関数なら 0、偶関数なら半分にして2倍。
- 三角関数の積は和に直す。積のままでは積分できない。
- \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx\) は \(m\neq n\) で 0、\(m=n\) で \(\pi\)（直交性）。
- 直交性のおかげで交差項が消え、係数ごとに独立に最小化できる。
