この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(z^n=\alpha\) の形の方程式は、両辺を極形式にして、 絶対値どうし・偏角どうしを比べます。偏角は \(2k\pi\) のずれまで考えるのがポイント。 4乗根は、半径 \(2\) の円の上に、正方形の形で並びます。
この回で扱う問題
方程式 \(z^4=-8-8\sqrt3\,i\) を解け。
（長崎大）
方針 ― 左辺も右辺も極形式
- 左辺：\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) とおくと、ド・モアブルの定理で \(z^4\) が書ける。
- 右辺：\(-8-8\sqrt3\,i\) を極形式に直す。
- 絶対値と偏角を比べる。偏角は \(+2k\pi\) をつける。
左辺を極形式で書く
\(z^4\neq0\) より \(z\neq0\) なので
\[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\quad(r\gt 0,\ 0\le\theta\lt 2\pi)\]
とおけます。ド・モアブルの定理より
\[z^4=r^4(\cos4\theta+i\sin4\theta)\]
右辺を極形式に直す
\(|-8-8\sqrt3\,i|=\sqrt{64+192}=16\) なので
\[-8-8\sqrt3\,i=16\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\]
\[=16\left(\cos\frac43\pi+i\sin\frac43\pi\right)\]
絶対値と偏角を比べる
絶対値を比べて \(r^4=16\)。\(r\gt 0\) より
\(r=2\)
偏角を比べると、\(2\pi\) の整数倍のずれを許して
\[4\theta=\frac43\pi+2k\pi\quad(k\text{ は整数})\]
\[\theta=\frac{\pi}{3}+\frac{k}{2}\pi\]
\(0\le\theta\lt 2\pi\) を満たすのは \(k=0,\ 1,\ 2,\ 3\) の4つです。
| \(k\) | \(\theta\) | \(z\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(1+\sqrt3\,i\) |
| \(1\) | \(\frac56\pi\) | \(-\sqrt3+i\) |
| \(2\) | \(\frac43\pi\) | \(-1-\sqrt3\,i\) |
| \(3\) | \(\frac{11}{6}\pi\) | \(\sqrt3-i\) |
\(z=1+\sqrt3\,i,\ \ -\sqrt3+i,\)
\(\quad\ \ -1-\sqrt3\,i,\ \ \sqrt3-i\)
検算：\((1+\sqrt3\,i)^2=-2+2\sqrt3\,i\)、もう一度2乗して \(4-8\sqrt3\,i-12=-8-8\sqrt3\,i\)。合っています。
つまずきポイント
- 偏角に \(2k\pi\) をつけ忘れる。 \(4\theta=\frac43\pi\) だけだと解が1つしか出ません。4次方程式の解は4つです。
- \(k\) の範囲をまちがえる。 \(0\le\theta\lt 2\pi\) から決めます。\(k=4\) は \(k=0\) と同じ点に戻ります。
- 右辺の偏角を \(\frac{\pi}{3}\) や \(\frac{2}{3}\pi\) にする。 実部も虚部も負なので、第3象限の \(\frac43\pi\) です。
要点まとめ
- \(z^n=\alpha\) は、左辺も右辺も極形式にする。
- 絶対値を比べて \(r\)、偏角を比べて \(\theta\)。偏角は\(+2k\pi\)。
- \(n\) 乗根は、原点中心の円の上に正 \(n\) 角形の形で並ぶ。
