この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(z=\cos\frac25\pi+i\sin\frac25\pi\) は、\(z^5=1\) を満たす1の5乗根です。 \(z^5-1\) を因数分解すると、係数が左右対称な4次方程式（相反方程式）が出てきます。 \(z^2\) で割って \(w=z+\frac1z\) とおくと2次方程式になり、\(\cos\frac25\pi\) の値が求まります。
この回で扱う問題
\(\cos\frac25\pi\) を求めたい。\(z=\cos\frac25\pi+i\sin\frac25\pi\) とおく。 \(z^n=1\) を満たす最小の自然数 \(n\) は \(\fbox{ア}\) であるから、 \(z\) は方程式 \(z^4+\fbox{イ}z^3+z^2+z+1=0\) の解となる。 そこで \(w=z+\frac1z\) とおくと、\(w\) は方程式 \(w^2+\fbox{ウ}w+\fbox{エ}=0\) の解となり、 \(\frac1z=\cos\frac25\pi-i\sin\frac25\pi\) および \(\cos\frac25\pi\gt 0\) であることから \(\cos\frac25\pi=\fbox{オ}\) を得る。
（慶應義塾大）
方針 ― 「\(z^n=1\) シリーズ」の3つの道具
- ド・モアブルの定理で \(z^n\) を計算し、\(z^5=1\) を見つける。
- \(z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)\) と因数分解する。
- 左右対称な4次方程式は、\(z^2\) で割って \(w=z+\frac1z\) とおく。
ア：最小の \(n\)
ド・モアブルの定理より
\[z^n=\cos\frac{2n}{5}\pi+i\sin\frac{2n}{5}\pi\]
\(z^n=1\) となるのは \(\frac{2n}{5}\pi=2k\pi\)（\(k\) は整数）のとき。最小の自然数は
\(n=5\) （ア＝5）
イ：因数分解
\(z^5=1\) より \(z^5-1=0\)。左辺を因数分解して
\[(z-1)\left(z^4+z^3+z^2+z+1\right)=0\]
\(z\neq1\) なので
\[z^4+z^3+z^2+z+1=0\]
イ＝1 です。
ウ・エ：\(z^2\) で割って \(w\) におきかえる
係数が \(1,1,1,1,1\) と左右対称です。\(z\neq0\) なので両辺を \(z^2\) で割ると
\[z^2+z+1+\frac1z+\frac1{z^2}=0\]
対称な項をペアにして
\[\left(z^2+\frac1{z^2}\right)+\left(z+\frac1z\right)+1=0\]
\(w=z+\frac1z\) とおくと、\(w^2=z^2+2+\frac1{z^2}\) より
\[z^2+\frac1{z^2}=w^2-2\]
代入して
\[(w^2-2)+w+1=0\]
\(w^2+w-1=0\)
ウ＝1、エ＝−1 です。
オ：\(\cos\frac25\pi\) の値
\(\frac1z=z^{-1}=\cos\frac25\pi-i\sin\frac25\pi\) なので
\[w=z+\frac1z=2\cos\frac25\pi\]
\(\cos\frac25\pi\gt 0\) より \(w\gt 0\)。\(w^2+w-1=0\) を解くと
\[w=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}\]
正のほうを選んで \(w=\frac{-1+\sqrt5}{2}\)。よって
\[\cos\frac25\pi=\frac{w}{2}=\frac{-1+\sqrt5}{4}\]
（オ＝\(\frac{-1+\sqrt5}{4}\)。およそ \(0.309\) で、\(\cos72^\circ\) の値と合っています。）
別解：イは等比数列の和でも
\(z\neq1\) なので、初項 \(1\)、公比 \(z\)、項数 \(5\) の等比数列の和を考えると
\[1+z+z^2+z^3+z^4=\frac{1-z^5}{1-z}=0\]
つまずきポイント
- \(z=1\) の解を残してしまう。 \(z\neq1\) だから、4次の因数のほうが \(0\) になります。
- \(z^2\) で割る理由がわからない。 係数が左右対称なので、真ん中の \(z^2\) で割ると \(z^k\) と \(\frac1{z^k}\) がペアになります。
- \(w^2=z^2+\frac1{z^2}\) としてしまう。 2乗すると真ん中に \(2\) が出ます。\(z^2+\frac1{z^2}=w^2-2\)。
- \(w\) の符号を決め忘れる。 \(\cos\frac25\pi\gt 0\) が、ここで使う条件です。
要点まとめ
- \(z=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\) は\(z^n=1\)。まず \(z^n-1\) を因数分解。
- 係数が左右対称な方程式は、真ん中の次数で割って \(w=z+\frac1z\)。
- \(z^2+\frac1{z^2}=w^2-2\)。
- \(\frac1z=\overline{z}\) なので \(w=2\cos\frac{2\pi}{n}\)。符号の条件で解を選ぶ。
