この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
【146】と流れは同じです。0 と \(i\) を結ぶ線分の垂直二等分線は、2点から等距離な点の集まりなので \(|z-0|=|z-i|\)。 \(z=(w\text{ の式})\) をつくって代入し、\(|w-\text{中心}|=\text{半径}\)（円）か \(|w-a|=|w-b|\)（垂直二等分線）の形をつくります。 ただし、除外点を忘れないこと。
この回で扱う問題
複素数平面において、点 \(z\) が、2点 0、\(i\) を結ぶ線分の垂直二等分線上を動くとき、
\[w=\frac{2z-1}{iz+1}\]
を満たす点 \(w\) の描く図形を求めよ。
（愛媛大）
方針
- 垂直二等分線 → \(|z-0|=|z-i|\)。
- \(z=(w\text{ の式})\) をつくる → 代入する。
- \(|w-\text{中心}|=\text{半径}\) か \(|w-a|=|w-b|\) のどちらかの形にする。
z を w で表す
\(w=\dfrac{2z-1}{iz+1}\) の両辺に \(iz+1\) をかけて
\[w(iz+1)=2z-1\]
\[(iw-2)z=-w-1\]
\(iw-2=0\)、つまり \(w=\dfrac{2}{i}=-2i\) とすると、左辺は 0、右辺は \(2i-1\ne0\) で成り立ちません。よって \(iw-2\ne0\) で
\[z=-\frac{w+1}{iw-2}\]
|z| ＝ |z − i| に代入する
\[\left|-\frac{w+1}{iw-2}\right|=\left|-\frac{w+1}{iw-2}-i\right|\]
右辺を通分すると、分子は
\[-(w+1)-i(iw-2)\]
\[=-w-1+w+2i=-1+2i\]
\[\frac{|w+1|}{|iw-2|}=\frac{|-1+2i|}{|iw-2|}\]
\(|iw-2|\ne0\) なので両辺にかけて
\[|w+1|=|-1+2i|=\sqrt5\]
これは「\(|w-\text{中心}|=\text{半径}\)」の形。中心 \(-1\)、半径 \(\sqrt5\) の円です。点 \(-2i\) はこの円の上にある（\(|-2i+1|=\sqrt5\)）ので、除いておきます。
点 \(-1\) を中心とする半径 \(\sqrt5\) の円。ただし点 \(-2i\) を除く
つまずきポイント
- 垂直二等分線を式にできない。 「2点から等距離」→ \(|z-0|=|z-i|\)。
- \(iw-2\) で割るときの確認をしない。 \(w=-2i\) では \(z\) が作れない。しかも円の上にあるので、除外点として答えに書く。
- 通分の分子の計算で \(w\) を残す。 \(-i\cdot iw=w\) で \(w\) が消え、定数 \(-1+2i\) になる。
要点まとめ
- 0 と \(i\) の垂直二等分線 ⇔ \(|z|=|z-i|\)。
- \(z=(w\text{ の式})\) をつくって代入 → \(|w-\text{中心}|=\text{半径}\) か \(|w-a|=|w-b|\) の形に。
- 答え：中心 \(-1\)、半径 \(\sqrt5\) の円。
- 割る式が 0 になる \(w=-2i\) は除外点。除外点を忘れない。
