共テ数学ⅡBC 第2回【第6問】角の二等分線とひし形で OD・OQ を出す ― ベクトル

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

角の二等分線上の点は、長さをそろえた2つのベクトルの和で表せます。 辺 OA 上に OA′＝1、辺 OB 上に OB′＝1 をとると、OA′PB′ はひし形。ひし形の対角線は角を2等分するので、OP が二等分線になります。 この回は、この事実から OD、OQ の位置ベクトルまでをたどります。

この回で扱う問題

方針 ― ひし形でとらえる

• OA′＝OB′＝1 なので、OA′PB′ をひし形にとれば、対角線 OP が \(\angle AOB\) を2等分する。
• \(\overrightarrow{OA'}=\dfrac13\vec a\)、\(\overrightarrow{OB'}=\dfrac12\vec b\) を足して \(\overrightarrow{OP}\)。
• OD＝AD は「二等辺三角形」。相似を使って \(|\overrightarrow{OD}|\) を出し、OP と同じ向きで \(\overrightarrow{OD}\)。
• OQAD はひし形（OQ＝QA＝AD＝DO）。ひし形は対角線のベクトルの和で。

① 点Pの位置（ア・イ）

OA′＝OB′＝1 なので、四角形 OA′PB′ がひし形になるように P をとれます（ア＝②）。ひし形の対角線 OP は \(\angle A'OB'\) を2等分するので、P は \(\angle AOB\) の二等分線上です。

\(\overrightarrow{OA'}=\dfrac{1}{3}\vec a\)（OA の長さが3で、長さ1の部分）、\(\overrightarrow{OB'}=\dfrac{1}{2}\vec b\)。ひし形では \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}\) なので

② \(|\overrightarrow{OP}|\)（ウ・エ・オ）

内積と長さは

\[\vec a\cdot\vec b=3\cdot 2\cdot\frac13=2\]

\[|\vec a|^2=9,\qquad |\vec b|^2=4\]

\[|\overrightarrow{OP}|^2=\frac{1}{9}\cdot 9+2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{4}\cdot 4\]

\[=1+\frac{2}{3}+1=\frac{8}{3}\]

③ 相似を見つける（カ）

\(\theta=\angle AOB\) とします。\(\triangle OA'P\) は OA′＝A′P＝1 の二等辺三角形で、底角 \(\angle A'OP=\dfrac{\theta}{2}\)。

\(\triangle ODA\) は OD＝AD の二等辺三角形で、底角 \(\angle DOA=\dfrac{\theta}{2}\)（D は直線 OP 上）。底角が等しい二等辺三角形どうしなので

④ \(|\overrightarrow{OD}|\) と \(\overrightarrow{OD}\)（キ〜スセ）

相似 \(\triangle OA'P\backsim\triangle ODA\) は、O↔O、A′↔D、P↔A と対応します。対応する辺の比は

\[\frac{OA'}{OD}=\frac{OP}{OA}\]

\[OD=\frac{OA'\cdot OA}{OP}=\frac{1\cdot 3}{\frac{2\sqrt6}{3}}=\frac{3\sqrt6}{4}\]

\[|\overrightarrow{OD}|=\frac{3\sqrt{6}}{4}\]

（キ＝3、ク＝6、ケ＝4）

確かめ（半角の公式）：\(\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}=\dfrac23\)、\(\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sqrt6}{3}\)。二等辺三角形 ODA で D から OA に垂線をおろすと、OA の中点を通るので \(OD=\dfrac{3/2}{\cos(\theta/2)}=\dfrac{3\sqrt6}{4}\)。一致します。

D は直線 OP 上にあり、OP と同じ向きなので、長さの比を掛けます。

\[\frac{|\overrightarrow{OD}|}{|\overrightarrow{OP}|}=\frac{\frac{3\sqrt6}{4}}{\frac{2\sqrt6}{3}}=\frac{9}{8}\]

\[\overrightarrow{OD}=\frac{9}{8}\left(\frac{\vec a}{3}+\frac{\vec b}{2}\right)\]

\[=\frac{3}{8}\vec a+\frac{9}{16}\vec b\]

（コ＝3、サ＝8、シ＝9、スセ＝16）

⑤ \(\overrightarrow{OQ}\)（ソ〜ツテ）

Q は D を直線 OA に関して対称移動した点。OD＝AD で、OQ＝QA＝AD＝DO なので、四角形 OQAD はひし形。ひし形の対角線 OA は、\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OQ}\) と書けます。

\[\overrightarrow{OQ}=\vec a-\overrightarrow{OD}=\vec a-\frac{3}{8}\vec a-\frac{9}{16}\vec b\]

\[=\frac{5}{8}\vec a-\frac{9}{16}\vec b\]

確かめ：\(|\overrightarrow{OQ}|\) は OD と等しいはず。\(\vec a\cdot\vec b=2\) を使って

\[|\overrightarrow{OQ}|^2=\frac{25}{64}\cdot 9-2\cdot\frac58\cdot\frac{9}{16}\cdot 2+\frac{81}{256}\cdot 4\]

\[=\frac{225-90+81}{64}=\frac{27}{8}\]

一方 \(|\overrightarrow{OD}|^2=\dfrac{54}{16}=\dfrac{27}{8}\)。一致します。

つまずきポイント