この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
和 \(S_n\) が入った漸化式は、\(a_n=S_n-S_{n-1}\) で \(S_n\) を消すと、\(a_n\) だけの関係（ここでは階差数列）になります。 ただし、この式は \(n\ge 2\) でしか使えません。どの式を、どの \(n\) から使ったかを最後に確かめるのが、この問題の山場です。
この回で扱う問題
数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とする。数列 \(\{a_n\}\) は
\(a_1=1,\quad a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac1n-1+S_n\right)\)
\(\quad(n=1,2,3,\cdots)\) …①
を満たしている。
\(S_1=\) ア より、\(n=1\) を①に代入すると \(a_2=\dfrac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}\)、\(S_2=\dfrac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}\)。
\(n\ge 2\) のとき \(a_n=S_n-S_{n-1}=\)（カ）\(a_{n+1}-\)（キ）\(a_n+\)（ク）。これを変形すると \(a_{n+1}-a_n=\)（ケ）…②。
カ・キ：⓪ \(n-1\) ① \(n\) ② \(n+1\) ③ \(n+2\)
ク：⓪ \(\dfrac1{n-1}-\dfrac1n\) ① \(\dfrac1n-\dfrac1{n-1}\) ② \(\dfrac1n-\dfrac1{n+1}\) ③ \(\dfrac1{n+1}-\dfrac1n\)
ケ：⓪ \(\dfrac1n\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+1}\right)\) ① \(\dfrac1n\left(\dfrac1{n+1}-\dfrac1n\right)\)
② \(\dfrac1{n+1}\left(\dfrac1{n-1}-\dfrac1n\right)\) ③ \(\dfrac1{n+1}\left(\dfrac1n-\dfrac1{n-1}\right)\)
②を利用して一般項を求める。\(n\ge 3\) のとき \(a_n=a_2+\displaystyle\sum_{k=\fbox{サ}}^{\fbox{コ}}(a_{k+1}-a_k)\)。
\(\dfrac{1}{k(k+2)}=\dfrac12\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+2}\right)\) であるから
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)}\)
\(\quad=\dfrac{1}{\fbox{シ}}\left(\dfrac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}}-\dfrac1{n+1}-\dfrac1{n+2}\right)\)。
これより、\(n\ge 3\) のとき \(a_n=\dfrac{1}{\fbox{シ}}\left(\dfrac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}-\dfrac{1}{\fbox{チ}}+\dfrac{1}{\fbox{ツ}}\right)\) …③（コ・チ・ツは ⓪ \(n-1\) ① \(n\) ② \(n+1\) ③ \(n+2\) から選ぶ）。
一般項③は テ。①と③から得られる数列 \(\{S_n\}\) の一般項は ト。
⓪ すべての自然数 \(n\) について成り立つ ① \(n\ge 2\) のときは成り立つが、\(n=1\) のときは成り立たない ② \(n\ge 3\) のときは成り立つが、\(n=1,\ 2\) のときは成り立たない
方針 ― S を消して、範囲を確かめる
- ①を \(S_n\) について解く：\(S_n=(n+1)a_{n+1}-\dfrac1n+1\)。
- \(n\) を \(n-1\) にずらした式と引くと \(S_n\) が消える。ただし \(S_{n-1}\) が必要なので \(n\ge 2\)。
- 階差数列の和 \(\displaystyle\sum_{k=2}^{n-1}\) は \(n\ge 3\) でないと項が無い。最後に \(n=1,\ 2\) を代入して確かめる。
最初の項（ア〜オ）
\(S_1=a_1=1\)。①に \(n=1\) を入れると
\[a_2=\frac12\left(1-1+S_1\right)=\frac12\]
\(S_2=a_1+a_2=1+\dfrac12=\dfrac32\) です。
\(S_1=1\)（ア＝1）、\(a_2=\dfrac12\)（イ＝1、ウ＝2）、\(S_2=\dfrac32\)（エ＝3、オ＝2）
S を消す（カ〜ケ）
①の両辺に \(n+1\) を掛けて \(S_n\) について整理すると
\[S_n=(n+1)a_{n+1}-\frac1n+1\quad\cdots④\]
\(n\ge 2\) なら、④の \(n\) を \(n-1\) にした式 \(S_{n-1}=na_n-\dfrac1{n-1}+1\) も使えます。引き算すると
\[a_n=S_n-S_{n-1}\]
\[=(n+1)a_{n+1}-na_n+\frac1{n-1}-\frac1n\]
\(na_n\) を左辺に移すと \((n+1)a_n\) になり、両辺を \(n+1\) で割ると
\[a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}\left(\frac1n-\frac1{n-1}\right)\]
カ＝②、キ＝①、ク＝⓪、ケ＝③（②は \(n\ge 2\) で成り立つ）
階差数列で一般項を求める（コ〜ツ）
②は \(n\ge 2\) から使えるので、和は \(k=2\) から始めます。\(n\ge 3\) のとき
\[a_n=a_2+\sum_{k=2}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)\]
（コ＝⓪、サ＝2）。中身を分けると
\[\frac{1}{k+1}\left(\frac1k-\frac1{k-1}\right)\]
\[=\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k-1)(k+1)}\]
前半は \(\dfrac1k-\dfrac1{k+1}\) に分けて足すと、間が消えて
\[\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}=\frac12-\frac1n\]
後半は、\(l=k-1\) とおくと \(\displaystyle\sum_{l=1}^{n-2}\frac{1}{l(l+2)}\) の形です。部分分数に分けて足すと、消えずに残るのは最初の2つと最後の2つです。
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)}\]
\[=\frac12\left(\frac32-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)\]
（シ＝2、ス＝3、セ＝2）。\(n\) を \(n-2\) にすれば
\[\sum_{l=1}^{n-2}\frac{1}{l(l+2)}\]
\[=\frac12\left(\frac32-\frac1{n-1}-\frac1n\right)\]
以上から
\[a_n=\frac12+\frac12-\frac1n\]
\[\quad-\frac12\left(\frac32-\frac1{n-1}-\frac1n\right)\]
\[=\frac12\left(\frac12-\frac1n+\frac1{n-1}\right)\]
\(a_n=\dfrac12\left(\dfrac12-\dfrac1n+\dfrac1{n-1}\right)\)（ソ＝1、タ＝2、チ＝①、ツ＝⓪）
式が成り立つ範囲（テ・ト）
③は \(n\ge 3\) で導きましたが、\(n=2\) を代入すると \(\dfrac12\left(\dfrac12-\dfrac12+1\right)=\dfrac12=a_2\) で一致します。\(n=1\) は \(\dfrac1{n-1}\) の分母が 0 になり、式そのものが意味をもちません。
\(S_n\) は④ \(S_n=(n+1)a_{n+1}-\dfrac1n+1\) で求めます。ここに出てくるのは \(a_{n+1}\)（添字が2以上）だけで、③は \(n\ge 2\) で正しいので、\(S_n\) の式は \(n=1\) から使えます。
\[S_n=\frac{n+1}{4}+1-\frac{1}{2n}\]
実際 \(n=1\) で \(\dfrac12+1-\dfrac12=1=S_1\) です。
③は \(n\ge 2\) で成り立つ（テ＝①）、\(S_n\) はすべての自然数で成り立つ（ト＝⓪）
つまずきポイント
- \(a_n=S_n-S_{n-1}\) を \(n=1\) でも使う。 \(S_0\) は無いので \(n\ge 2\) のときだけ。
- 階差数列の和を \(k=1\) から始める。 ②は \(n\ge 2\) でしか成り立たないので、\(a_2\) から \(k=2\) で足す。
- ③を「\(n\ge 3\) で導いたから②」とする。 \(n=2\) は代入すれば一致する。導いた範囲と成り立つ範囲は別。
要点まとめ
- \(S_n\) を含む漸化式は \(a_n=S_n-S_{n-1}\)（\(n\ge 2\)）で \(S_n\) を消す。
- \(a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac1n-\dfrac1{n-1}\right)\) を部分分数に分けて足す。
- \(a_n=\dfrac12\left(\dfrac12-\dfrac1n+\dfrac1{n-1}\right)\) は \(n\ge 2\)（テ＝①）、\(S_n\) は全ての \(n\)（ト＝⓪）。
