共テ数学ⅡBC 第3回【第2問】指数方程式の解はグラフの交点で読む ― 指数関数・対数関数

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

\(2^{-x}+a=\left|2^x-\dfrac{1}{2}\right|\) のような方程式は、式だけで追うより、2つのグラフの交点として見る方が速い。 片方は右下がり、もう片方は右上がり。\(x=0\) でどちらが上にあるかで、正の解の個数が決まります。

この回で扱う問題

方針 ― 解は2つのグラフの交点

• \(C_1\) は \(y=2^{-x}\)（右下がり）を \(a\) だけ上下に動かしたもの。
• \(C_2\) は \(y=2^x-\dfrac{1}{2}\) の \(x\) 軸より下の部分を折り返したもの。
• 方程式の解は \(C_1\) と \(C_2\) の交点の \(x\) 座標。\(x=0\) での上下を比べる。
• (4) は \(t=2^x\) とおいて2次方程式にする。

(1) \(C_1\) の \(y\) 切片（ア）

\(x=0\) を代入すると \(2^0=1\) なので

\(C_1\) は右下がりで、\(x\) を大きくすると \(y\) は \(a\) に近づきます。

(2) \(C_2\) の概形（イ）

\(2^x-\dfrac{1}{2}=0\) となるのは \(2^x=2^{-1}\)、つまり \(x=-1\)。ここでグラフは \(x\) 軸にふれて折れ曲がります。

• \(x=0\) のとき \(y=\left|1-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}\)。
• \(x\to-\infty\) のとき \(2^x\to 0\) なので \(y\to\dfrac{1}{2}\)（漸近線 \(y=\dfrac{1}{2}\)）。

\((-1,\,0)\) で折れて \(\left(0,\,\dfrac{1}{2}\right)\) を通り、左では \(\dfrac{1}{2}\) に近づくグラフです。

（イ＝①）

(3) ただ一つの正の解（ウ・エ・オ）

\(x\gt 0\) では、\(C_1\) は下がり続け、\(C_2\) は上がり続けて限りなく大きくなります。 したがって、\(x=0\) で \(C_1\) が \(C_2\) より上にあれば、正の交点はちょうど1つ。上になければ正の交点はありません。

\[1+a\gt \frac{1}{2}\]

このとき \(x\le 0\) に交点がないことも確かめます。

• \(-1\le x\le 0\)：\(C_1\) は \(1+a\ \left(\gt \dfrac{1}{2}\right)\) 以上、\(C_2\) は \(\dfrac{1}{2}\) 以下。
• \(x\lt -1\)：\(C_1\) は \(2+a\ \left(\gt \dfrac{3}{2}\right)\) より上、\(C_2\) は \(\dfrac{1}{2}\) より下。

どちらも交わらないので、解は正の1つだけです。

(4) \(a=\dfrac{1}{2}\) のときの解（カ）

\(a=\dfrac{1}{2}\gt -\dfrac{1}{2}\) なので、解は正の1つ。\(x\gt 0\) では \(2^x\gt 1\) で、絶対値はそのままはずれます。

\(t=2^x\ (t\gt 1)\) とおくと

\[\frac{1}{t}+\frac{1}{2}=t-\frac{1}{2}\]

両辺に \(t\) を掛けて整理すると

\[t^2-t-1=0\]

\(t\gt 1\) より \(t=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)。よって

\[x=\log_2\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

\[=\log_2(1+\sqrt{5})-\log_2 2\]

つまずきポイント