数学Ⅲα【116】面積比較で和の整数部分を決める

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

\(\displaystyle\int_k^{k+1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\) は曲線の下の面積。 となりに縦 \(\frac{1}{\sqrt{k+1}}\) と縦 \(\frac{1}{\sqrt{k}}\) の長方形を置けば、 内の長方形 ＜ 曲線 ＜ 外の長方形で不等式ができます。 それを足し合わせると、計算できない和 \(1+\frac{1}{\sqrt2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{100}}\) の整数部分が決まります。

この回で扱う問題

方針 ― 定積分は面積、和は長方形の面積

• (1) となり合う区間の積分は1本につながる。
• (2) \(\frac{1}{\sqrt{k}}\) は「縦 \(\frac{1}{\sqrt{k}}\)・横 \(1\)」の長方形の面積と読む。
• (3) (2) を \(k\) について足し、計算できる積分ではさむ。

(1) 区間をつなげる

\(S_n=I_1+I_2+\cdots+I_n\) は、区間 \([1,2],\ [2,3],\ \cdots\) をつなげた積分です。

\[S_n=\int_1^{n+1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\Big[2\sqrt{x}\Big]_1^{n+1}=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\]

(2) 長方形と見比べる

\(y=\frac{1}{\sqrt{x}}\) は減少関数です。\(k\le x\le k+1\) のとき

\[\frac{1}{\sqrt{k+1}}\le\frac{1}{\sqrt{x}}\le\frac{1}{\sqrt{k}}\]

等号はつねには成り立たないので、\(k\) から \(k+1\) まで積分すると

\[\int_k^{k+1}\frac{dx}{\sqrt{k+1}}\lt \int_k^{k+1}\frac{dx}{\sqrt{x}}\lt \int_k^{k+1}\frac{dx}{\sqrt{k}}\]

左右は定数の積分（横の長さ \(1\)）なので

(3) 2つの不等式を別々に使う

(2) の不等式は2つの向きに使えます。

上からおさえる：\(\frac{1}{\sqrt{k+1}}\lt I_k\)

\(k=1,\ 2,\ \cdots,\ 99\) として足すと

\[\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{100}}\lt \int_1^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}}\]

\[\int_1^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\Big[2\sqrt{x}\Big]_1^{100}=2(10-1)=18\]

両辺に \(1\) を足して

\[1+\frac{1}{\sqrt2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{100}}\lt 19\]

下からおさえる：\(I_k\lt \frac{1}{\sqrt{k}}\)

\(k=1,\ 2,\ \cdots,\ 99\) として足すと

\[18=\int_1^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}}\lt 1+\frac{1}{\sqrt2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}}\]

両辺に \(\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}\) を足して

\[18+\frac{1}{10}\lt 1+\frac{1}{\sqrt2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{100}}\]

2つを合わせると

\[18+\frac{1}{10}\lt 1+\frac{1}{\sqrt2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{100}}\lt 19\]

※ \(k=1\) から \(100\) まで足して \(\int_1^{101}\) と比べる方法もあります。どちらも「足す範囲」と「積分区間」をそろえるのがポイントです。

つまずきポイント