この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
和 \(S_n\) が分かっているときは、\(a_n=S_n-S_{n-1}\) で一般項を求めます。 後半の \(T_n\) の漸化式は、両辺を \(5n(n+1)\) で割ると \(U_n=\dfrac{T_n}{n}\) の等比型（\(p\,U_n+q\) の形）になります。
この回で扱う問題
自然数 \(n\) に対して、数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) が \(S_n=n\left(\dfrac45\right)^n\) …① であるとする。
(1) \(a_1=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}\)、\(n\ge 2\) のとき \(a_n=\dfrac{\fbox{ウ}-n}{\fbox{ウ}}\left(\dfrac45\right)^{\fbox{エ}}\) …②（エは ⓪ \(n-2\) ① \(n-1\) ② \(n\) ③ \(n+1\) ④ \(n+2\)）。\(a_n\le 0\) となる \(n\) の範囲は \(n\ge\) ウ、\(S_n\) が最大となる \(n\) は オ（⓪ \(n=\)ウ ① \(n=\)ウ\(-1\) ② \(n=\)ウ\(+1\) ③ \(n=\)ウ または \(n=\)ウ\(-1\) ④ \(n=\)ウ または \(n=\)ウ\(+1\) ⑤ \(n=\)ウ\(-1\) または \(n=\)ウ\(+1\)）。
(2) \(a_n\) の式を①を用いて変形すると \(S_n=\fbox{カ}\left(\dfrac45\right)^{\fbox{エ}}-\fbox{キ}\,a_n\)。これを利用すると
\(\displaystyle\sum_{k=1}^n S_k=\fbox{クケ}\left\{1-\left(\dfrac45\right)^{\fbox{コ}}\right\}\)
\(\quad-\fbox{サ}\,n\left(\dfrac45\right)^{\fbox{コ}}\)（コは エ と同じ選択肢）。
(3) 数列 \(\{T_n\}\) は \(T_1=\dfrac45\)、
\(5nT_{n+1}=4(n+1)T_n+4n(n+1)\) …③ を満たす。\(U_n=\dfrac{T_n}{n}\) とおくと ③は \(U_{n+1}=\dfrac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}U_n+\dfrac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}\)。\(T_n=\fbox{タ}\,n\left\{1-\left(\dfrac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}\right)^n\right\}\)。また
\(\displaystyle\sum_{k=1}^n S_k-T_n\)
\(\quad=\fbox{テト}\left\{1-\left(\dfrac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}\right)^n\right\}-\fbox{ナ}\,n\)。
\(n=1,2,3,4\) では \(\sum S_k\gt T_n\) は成り立たない。\(\sum S_k\gt T_n\) を満たす自然数 \(n\) は ニ（⓪ ない ① 全部で1個 ② 全部で2個 ③ 全部で3個）。
方針 ― 和から一般項、割って等比型
- \(a_1=S_1\)、\(n\ge 2\) では \(a_n=S_n-S_{n-1}\)。
- \(S_n\) の増減は \(a_n\) の符号で決まる。
- ③は \(5n(n+1)\) で割ると \(\dfrac{T_{n+1}}{n+1}\) と \(\dfrac{T_n}{n}\) の関係になる。
(1) 一般項 aₙ（ア〜エ）
\(a_1=S_1=\dfrac45\)。\(n\ge2\) のとき、共通な \(\left(\dfrac45\right)^{n-1}\) でくくります。
\[a_n=n\left(\frac45\right)^n-(n-1)\left(\frac45\right)^{n-1}\]
\[=\left(\frac45\right)^{n-1}\left\{\frac45n-(n-1)\right\}\]
\[=\frac{5-n}{5}\left(\frac45\right)^{n-1}\]
\(n=1\) を入れると \(\dfrac45\) で、\(a_1\) と一致します。
\(a_1=\dfrac45\)（ア＝4、イ＝5）、\(a_n=\dfrac{5-n}{5}\left(\dfrac45\right)^{n-1}\)（ウ＝5、エ＝①）
(1) Sₙ が最大となる n（オ）
\(\left(\dfrac45\right)^{n-1}\gt0\) なので、\(a_n\) の符号は \(5-n\) で決まります。\(a_n\le 0\) となるのは \(n\ge 5\)。
- \(n\le 4\)：\(a_n\gt 0\) なので \(S_n\) は増える
- \(n=5\)：\(a_5=0\) なので \(S_5=S_4\)
- \(n\ge 6\)：\(a_n\lt 0\) なので \(S_n\) は減る
最大は \(n=5\) または \(n=4\)（オ＝③）
(2) Sₙ を aₙ で表す（カ・キ）
\(a_n\) を2つに分けると、後ろの項が \(S_n\) で書けます。
\[a_n=\left(\frac45\right)^{n-1}-\frac n5\left(\frac45\right)^{n-1}\]
\[\frac n5\left(\frac45\right)^{n-1}=\frac14\cdot n\left(\frac45\right)^{n}=\frac14S_n\]
よって \(a_n=\left(\dfrac45\right)^{n-1}-\dfrac14S_n\) で、
\[S_n=4\left(\frac45\right)^{n-1}-4a_n\]
（カ＝4、キ＝4）
(2) Sₖ の和（クケ〜サ）
\(k=1\) から \(n\) まで足します。\(\sum a_k=S_n\) がポイントです。
\[\sum_{k=1}^n S_k=4\sum_{k=1}^n\left(\frac45\right)^{k-1}-4S_n\]
前の和は初項1、公比 \(\dfrac45\) の等比数列の和で \(\dfrac{1-(4/5)^n}{1/5}=5\left\{1-\left(\dfrac45\right)^n\right\}\)。
\[\sum_{k=1}^n S_k=20\left\{1-\left(\frac45\right)^n\right\}\]
\[\quad-4n\left(\frac45\right)^n\]
太郎さんの「\(S-(\text{公比})\times S\)」でも同じ結果になりますが、\(a_n\) と \(S_n\) の関係を使うと計算が短くすみます。
（クケ＝20、コ＝②、サ＝4）
(3) Uₙ の漸化式（シ〜ソ）
③の両辺を \(5n(n+1)\) で割ります。
\[\frac{T_{n+1}}{n+1}=\frac45\cdot\frac{T_n}{n}+\frac45\]
\[U_{n+1}=\frac45U_n+\frac45\]
（シ／ス＝4／5、セ／ソ＝4／5）
(3) Tₙ の一般項（タ〜ツ）
\(\alpha=\dfrac45\alpha+\dfrac45\) を解くと \(\alpha=4\)。両辺から4を引くと
\[U_{n+1}-4=\frac45(U_n-4)\]
\(U_1-4=\dfrac45-4=-\dfrac{16}5=-4\cdot\dfrac45\) なので
\[U_n-4=-4\left(\frac45\right)^n\]
\[T_n=nU_n=4n\left\{1-\left(\frac45\right)^n\right\}\]
（タ＝4、チ／ツ＝4／5）
(3) 差をとって比べる（テト〜ニ）
\(-4n\left(\dfrac45\right)^n\) と \(+4n\left(\dfrac45\right)^n\) が打ち消し合います。
\[\sum_{k=1}^n S_k-T_n=20\left\{1-\left(\frac45\right)^n\right\}-4n\]
これが正 \(\iff 5\left\{1-\left(\dfrac45\right)^n\right\}\gt n\)。左辺はいつも5より小さいので、\(n\ge5\) では成り立ちません。\(n=1,2,3,4\) で成り立たないことは問題文にあります（\(n=1\) は両辺とも1で等しい）。
（テト＝20、ナ＝4）、満たす \(n\) はない（ニ＝⓪）
つまずきポイント
- \(S_n\) の最大を \(a_n\lt 0\) の手前だけと考える。 \(a_5=0\) なので \(S_4=S_5\)。答えは2つ。
- \(\sum S_k\) を正面から計算する。 \(S_n=4\left(\frac45\right)^{n-1}-4a_n\) にすれば、\(\sum a_k=S_n\) で一気に求まる。
- ③を \(5n\) だけで割る。 \(5n(n+1)\) で割ると \(\dfrac{T_{n+1}}{n+1}\) と \(\dfrac{T_n}{n}\) がそろう。
要点まとめ
- \(a_n=\dfrac{5-n}{5}\left(\dfrac45\right)^{n-1}\)。\(S_n\) の最大は \(n=4,5\)（オ＝③）。
- \(S_n=4\left(\frac45\right)^{n-1}-4a_n\)、
\(\sum S_k=20\left\{1-\left(\frac45\right)^n\right\}-4n\left(\frac45\right)^n\)。 - \(U_{n+1}=\frac45U_n+\frac45\) → \(T_n=4n\left\{1-\left(\frac45\right)^n\right\}\)。
\(\sum S_k\gt T_n\) となる \(n\) はない（ニ＝⓪）。
