共テ数学ⅡBC 第10回【第7問】円周角を偏角で表し、虚部が正となる w は円の外側 ― 複素数平面

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

解説動画（音声つき）

\(\arg\dfrac{z-5}{z-1}\) は、点 P から見たA から B への回転角です。円周角の定理を偏角で言いかえると、同じ側なら偏角が等しく、反対側なら和が \(\pm\pi\)。最後の範囲は「角が小さい＝円の外」と読みます。

この回で扱う問題

異なる四つの複素数 \(1,\ 5,\ z,\ w\) が表す点を、それぞれ A、B、P、Q とする。

(1) \(|z-1|=|z-5|\) を満たす点 P 全体はア（⓪ 実軸（2点 A、B は含まない）　① 虚軸　② 2点 A、B を両端とする線分の垂直二等分線　③ 2点 A、B を直径の両端とする円）。\(|z-1|\lt|z-5|\) を満たす点 P 全体はイの斜線部分（⓪ \(x\lt1\)　① \(1\lt x\lt5\)　② \(x\gt5\)　③ \(x\lt3\)　④ \(x\gt3\)　⑤ 円の内部　⑥ 円の外部）。

(2) 偏角は \(-\pi\lt\theta\le\pi\) で考える。P、Q は直線 AB 上にないとし、\(\triangle ABP\) の外接円を \(C\) とする。P、Q が直線 AB に関して同じ側にあり Q が \(C\) 上にあるとき、\(\arg\dfrac{z-5}{z-1}=\arg\dfrac{w-\fbox{ウ}}{w-\fbox{エ}}\)。このとき \(\dfrac{z-5}{z-1}\cdot\dfrac{w-\fbox{エ}}{w-\fbox{ウ}}\) はオ。反対側にあり Q が \(C\) 上にあるとき
\(\arg\dfrac{z-5}{z-1}+\arg\dfrac{w-\fbox{エ}}{w-\fbox{ウ}}=\) カ（⓪ 0　① \(\frac\pi2\)　② \(-\frac\pi2\)　③ \(\pm\frac\pi2\)　④ \(\pi\)　⑤ \(-\pi\)　⑥ \(\pm\pi\)）。このとき上の積はキ。

オ・キの選択肢：⓪ 実部が正である虚数　① 実部が負である虚数　② 正の実数　③ 負の実数　④ 虚部が正である純虚数ではない虚数　⑤ 虚部が負である純虚数ではない虚数　⑥ 虚部が正である純虚数　⑦ 虚部が負である純虚数　⑧ 0

(3) \(z\) の虚部が正であるとき、\(\dfrac{z-5}{z-1}\cdot\dfrac{w-\fbox{エ}}{w-\fbox{ウ}}\) の虚部が正である点 \(w\) 全体を図示するとク（⓪ 円 \(C\) の内部　① 円 \(C\) の外部　② 円 \(C\) の内部と実軸より下　③ 円 \(C\) の外部で実軸より上。境界線と実軸は含まない）。

方針 ― 偏角は回転角

\(|z-1|\) は P と A の距離。距離の比較は垂直二等分線で分ける。
\(\arg\dfrac{z-5}{z-1}\) は \(\overrightarrow{PA}\) から \(\overrightarrow{PB}\) へ回る角（向きつき）。
積の偏角は偏角の和。\(\arg\dfrac{w-1}{w-5}=-\arg\dfrac{w-5}{w-1}\)。

(1) 等式と不等式（ア・イ）

\(|z-1|=|z-5|\) は PA＝PB。A、B から等距離の点は、線分 AB の垂直二等分線 \(x=3\) です。

\(|z-1|\lt|z-5|\) は PA＜PB、つまり A のほうに近い側で \(x\lt3\) です。

PA ＜ PB となる点は直線 x ＝ 3 より A の側

垂直二等分線（ア＝②）、\(x\lt3\)（イ＝③）

(2) 同じ側のとき（ウ〜オ）

P と Q が同じ弧の上にあれば、円周角の定理で \(\angle APB=\angle AQB\)。しかも A から B へ回る向きも同じです。

\[\arg\frac{z-5}{z-1}=\arg\frac{w-5}{w-1}\]

すると

\[\arg\left(\frac{z-5}{z-1}\cdot\frac{w-1}{w-5}\right)=0\]

偏角が0の複素数は正の実数です。

同じ側の Q（緑）は ∠AQB ＝ ∠APB、反対側の Q（赤）は ∠APB ＋ ∠AQB ＝ π

（ウ＝5、エ＝1、オ＝②）

(2) 反対側のとき（カ・キ）

円に内接する四角形 APBQ の対角なので \(\angle APB+\angle AQB=\pi\)。回る向きは逆になります。

P が上側なら \(\arg\dfrac{z-5}{z-1}=\angle APB\)、\(\arg\dfrac{w-1}{w-5}=\angle AQB\) で、和は \(\pi\)。P が下側なら符号がそろって反転し、和は \(-\pi\)。

\[\arg\frac{z-5}{z-1}+\arg\frac{w-1}{w-5}=\pm\pi\]

偏角が \(\pm\pi\) の複素数は負の実数です。

（カ＝⑥、キ＝③）

(3) 虚部が正となる w（ク）

\(\theta=\arg\dfrac{z-5}{z-1}=\angle APB\)（\(0\lt\theta\lt\pi\)）とします。積の偏角は

\[\theta-\arg\frac{w-5}{w-1}\]

これが \(0\) と \(\pi\) の間にあれば虚部は正です。

\(w\) が上側：\(\arg\dfrac{w-5}{w-1}=\angle AWB\)。\(\angle AWB\lt\theta\) が条件。円周角より小さいのは円の外。
\(w\) が下側：\(\arg\dfrac{w-5}{w-1}=-\angle AWB\)。\(\theta+\angle AWB\lt\pi\) が条件。下の弧での角は \(\pi-\theta\) なので、これより小さいのは円の外。

虚部が正となる w は円 C の外側（境界と実軸は除く）

円 \(C\) の外部（ク＝①）

つまずきポイント

ウ・エを逆に入れる。 \(\dfrac{z-5}{z-1}\) とそろえて \(\dfrac{w-5}{w-1}\)。
反対側の和を \(\pi\) だけにする。 P が下側なら \(-\pi\)。偏角の範囲が \(-\pi\lt\theta\le\pi\) なので答えは \(\pm\pi\)。
(3) を上半分だけで考える。 下側でも条件は「円の外」。全体で円の外部になる。