この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
正五角形は相似だらけの図形です。 角度をすべて \(36^{\circ}\) の倍数で書き出すと、二等辺三角形と相似な三角形が次々に現れ、 対角線の長さが黄金比として求まります。そこから \(\cos 36^{\circ}\) も出ます。
この回で扱う問題（松山大）
辺の長さが \(1\) である正五角形 \(\mathrm{ABCDE}\) がある。 \(\mathrm{AC}\) と \(\mathrm{BE}\) の交点を \(\mathrm{F}\)、\(\mathrm{BE}\) の長さを \(p\) とする。
(1) \(p\) の値を求めよ。
(2) \(\triangle\mathrm{ACD}\) の面積を \(p\) を用いて表せ。
(1) まず角度を全部うめる
正五角形の内角の和は \(180^{\circ}\times(5-2)=540^{\circ}\)。1つの内角は
\[540^{\circ}\div 5=108^{\circ}\qquad\text{よって}\quad \angle\mathrm{BAE}=108^{\circ}\]
\(\triangle\mathrm{ABE}\) は \(\mathrm{AB}=\mathrm{AE}=1\) の二等辺三角形なので
\[\angle\mathrm{AEB}=\angle\mathrm{ABE}=\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}\]
\(\triangle\mathrm{BAC}\)、\(\triangle\mathrm{EAD}\) も同じ形なので \(\angle\mathrm{BAC}=\angle\mathrm{EAD}=36^{\circ}\)。したがって
\[\angle\mathrm{CAD}=108^{\circ}-(36^{\circ}+36^{\circ})=36^{\circ}\]
頂角から出る3本の線が、\(108^{\circ}\) を \(36^{\circ}\) ずつ3等分している。 これが正五角形のいちばん大事な事実です。
二等辺三角形を2つ見つける
\(\angle\mathrm{EAF}=36^{\circ}+36^{\circ}=72^{\circ}\)。また \(\triangle\mathrm{ABF}\) の外角を考えて
\[\angle\mathrm{EFA}=\angle\mathrm{BAF}+\angle\mathrm{ABF}=36^{\circ}+36^{\circ}=72^{\circ}\]
よって \(\triangle\mathrm{EAF}\) は \(\mathrm{EA}=\mathrm{EF}=1\) の二等辺三角形。\(\mathrm{EF}=1\) なので
\[\mathrm{BF}=\mathrm{BE}-\mathrm{EF}=p-1\]
さらに \(\triangle\mathrm{FAB}\) も \(\mathrm{FA}=\mathrm{FB}\) の二等辺三角形なので \(\mathrm{AF}=p-1\)。
相似から方程式を立てる
\(\triangle\mathrm{ABE}\) と \(\triangle\mathrm{FAB}\) は、頂角 \(36^{\circ}\)・底角 \(72^{\circ}\) で 2組の角が等しいので相似です。
\[\mathrm{AB}:\mathrm{FA}=\mathrm{BE}:\mathrm{AB}\quad\Longrightarrow\quad 1:(p-1)=p:1\]
\[p(p-1)=1,\qquad p^{2}-p-1=0\]
\(p>0\) だから
\[p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\quad(\text{黄金比})\]
ここから \(\cos 36^{\circ}\) と \(\cos 108^{\circ}\) が出る
\(\triangle\mathrm{ABE}\) で \(\mathrm{A}\) から \(\mathrm{BE}\) に垂線を下ろすと、 その足は \(\mathrm{BE}\) の中点。底角が \(36^{\circ}\) なので
\[\cos 36^{\circ}=\frac{p/2}{1}=\frac{p}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\]
また \(\cos 108^{\circ}\) は、\(\triangle\mathrm{ABE}\) に余弦定理を使って
\[p^{2}=1^{2}+1^{2}-2\cos 108^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad \cos 108^{\circ}=\frac{2-p^{2}}{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\]
（\(p^{2}=p+1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\) を使いました。） \(\cos 36^{\circ}\approx 0.809\)、\(\cos 108^{\circ}\approx -0.309\)。符号が合っています。
(2) \(\triangle\mathrm{ACD}\) の面積
\(\triangle\mathrm{BAC}\equiv\triangle\mathrm{EAD}\equiv\triangle\mathrm{ABE}\) なので、対角線はすべて等しく
\[\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=p\]
\(\triangle\mathrm{ACD}\) は \(\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=p\)、\(\mathrm{CD}=1\)、頂角 \(\angle\mathrm{CAD}=36^{\circ}\)。余弦定理から
\[\cos\angle\mathrm{CAD}=\frac{p^{2}+p^{2}-1^{2}}{2\cdot p\cdot p}=\frac{2p^{2}-1}{2p^{2}}\]
\(\sin\angle\mathrm{CAD}>0\) なので
\[\sin\angle\mathrm{CAD}=\sqrt{1-\left(\frac{2p^{2}-1}{2p^{2}}\right)^{2}} =\frac{\sqrt{4p^{2}-1}}{2p^{2}}\]
（分子は \(\sqrt{(2p^{2})^{2}-(2p^{2}-1)^{2}}=\sqrt{4p^{2}-1}\)。ここも和と差の積で一発です。）
\[\triangle\mathrm{ACD}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{AD}\cdot\sin\angle\mathrm{CAD} =\frac{1}{2}\cdot p\cdot p\cdot\frac{\sqrt{4p^{2}-1}}{2p^{2}}\]
\[\triangle\mathrm{ACD}=\frac{\sqrt{4p^{2}-1}}{4}\]
\(p^{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\) を入れると \(4p^{2}-1=5+2\sqrt{5}\) なので、 面積は \(\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{4}\approx 0.769\)。 1辺 \(1\) の正五角形（面積 \(\approx 1.72\)）の半分弱で、妥当な大きさです。
つまずきポイント
- 角度を書き込まずに考え始める。 正五角形は \(36^{\circ}\)、\(72^{\circ}\)、\(108^{\circ}\) しか出てきません。 先に全部書き込むと、相似な三角形が目で見つかります。
- \(\mathrm{EF}=1\) を見落とす。 \(\triangle\mathrm{EAF}\) が二等辺だと分かってはじめて \(\mathrm{BF}=p-1\) が出ます。ここが (1) の急所です。
- 相似の対応をまちがえる。 \(\triangle\mathrm{ABE}\) と \(\triangle\mathrm{FAB}\) は、頂角どうし・底角どうしを対応させます。 辺の比を書くときは対応する頂点の順をそろえてください。
- \(p^{2}-p-1=0\) の負の解を残す。 長さなので \(p>0\)。\(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\) は捨てます。
- \(\sin\) を求めるとき \(\sqrt{\ }\) の中を展開してしまう。 \((2p^{2})^{2}-(2p^{2}-1)^{2}\) は和と差の積で \(\{4p^{2}-1\}\cdot 1\)。すぐ終わります。
要点まとめ
- 正五角形の角は \(36^{\circ}\) の倍数だけ。頂角 \(108^{\circ}\) は対角線で3等分される。
- 二等辺三角形と相似から \(p^{2}-p-1=0\)、対角線は黄金比 \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)。
- そこから \(\cos 36^{\circ}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\)、\(\cos 108^{\circ}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\)。
- 面積は \(\dfrac{1}{2}ab\sin C\)。\(\cos\) → \(\sin\) は和と差の積で手早く。
