第7回（第1〜3問）のうち、差がつく4か所だけを短い動画にまとめました。 各問の全体の解説は、下のリンク先の記事にあります。
第7回（第1〜3問）のうち、定番の計算ではなく式の扱い方・置きかえで差がつく4か所だけを集めました。 解き終わったあとの見直しや、試験直前の確認に使ってください。
この記事で扱う4か所
① 第1問(3)(4) 共有点の方程式は割らずにくくる。\(2x\) の範囲に注意（エ〜キ）
② 第2問(2) \(2^k=t\) とおいて、△MNR の面積を\(t\) の3次関数にする（カ〜コ）
③ 第3問(1) \(\dfrac{S}{T}\) を\(\dfrac1a\) の3次関数と見て最大を出す（カ〜コ）
④ 第3問(2) 接線との差を \((x-1)\) の累乗で表して比べる（セ〜チ）
第1問(1)(2) のグラフ選びと周期、第2問(1) の交点の座標、第3問(1) の \(S,\ T\) の計算、(3) の外接円は定番の処理なので、ここでは省きます。
① 割らずにくくる、2x の範囲（第1問・エ〜キ）
共有点の \(x\) 座標は \(\sin x\cos x=\cos^2x\) の解です。両辺を \(\cos x\) で割ると、\(\cos x=0\) の解が消えます。移項してくくります。
\[\cos x(\sin x-\cos x)=0\]
\(\cos x=0\) から \(x=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac32\pi\)、\(\tan x=1\) から \(x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac54\pi\)。
\[\frac{\pi}{2}+\frac32\pi+\frac{\pi}{4}+\frac54\pi=\frac72\pi\]
（エ＝7、オ＝2）
(4) も同じです。\(f(2x)=\sin2x\cos2x\)、\(g(x)-\dfrac12=\dfrac12\cos2x\) なので
\[\cos2x\left(\sin2x-\frac12\right)=0\]
\(0\le x\le2\pi\) のとき \(0\le 2x\le4\pi\) です。\(\cos2x=0\) の最初は \(x=\dfrac{\pi}{4}\)、\(\sin2x=\dfrac12\) の最初は \(2x=\dfrac{\pi}{6}\) です。
\[x=\frac{\pi}{12}\]
（カキ＝12）
② 2ᵏ＝t で面積を3次関数に（第2問・カ〜コ）
まず Q の \(x\) 座標。\(\dfrac12\log_2(x+2)=k\) なので \(\log_2(x+2)=2k\) です。\(\dfrac12\) を忘れないようにします。
\[\mathrm{P}:\ x=2^k,\qquad \mathrm{Q}:\ x=2^{2k}-2\]
\(2^k=t\) とおくと \(2^{2k}=t^2\)。\(k<1\) なので \(0<t<2\)。底辺は \(\mathrm{MN}=t-(t^2-2)\)、高さは R の \(y\) 座標 \(t\) です。
\[S=-\frac12t^3+\frac12t^2+t\]
（カ＝①）
\[S'=-\frac12(3t^2-2t-2)\]
\(0<t<2\) の解は \(t=\dfrac{1+\sqrt7}{3}\) だけで、ここで増加から減少に変わるので、極大がそのまま最大です。
\[t=\frac{1+\sqrt7}{3},\quad k=\log_2\frac{1+\sqrt7}{3}\]
（キ＝1、ク＝7、ケ＝3、コ＝③）
③ S/T は 1/a の3次関数（第3問・カ〜コ）
\(S=\dfrac14(a^2-1)\)、\(T=\dfrac13a^3\) なので
\[\frac{S}{T}=\frac{3(a^2-1)}{4a^3}\]
分子と分母を \(a^3\) で割ると、\(\dfrac1a\) だけの式になります。
\[\frac{S}{T}=\frac34\left\{\frac1a-\left(\frac1a\right)^3\right\}\]
（カ＝3、キ＝4、ク＝1、ケ＝3）
\(\dfrac1a=t\) とおくと、\(a>1\) なので \(0<t<1\)。\(U(t)=t-t^3\) を微分して \(U'(t)=1-3t^2\)。\(t=\dfrac{1}{\sqrt3}\) で極大、そのまま最大です。
\[a=\sqrt3\]
（コ＝3）
④ 接線との差は (x−1) の累乗（第3問・セ〜チ）
\(x=1\) で \(f(1)=g(1)=\dfrac12a^2-\dfrac12\)、傾きも \(f'(1)=g'(1)=-1\)。\(a\) の値に関係なく C₂ と L は P で接します。\(a\) を1つに決めようとしないことです。
そのような \(a\) は無数に存在する（セ＝⑤）
接線を \(h(x)=-x+\dfrac12a^2+\dfrac12\) とします。接点 \(x=1\) で差が0になるので、差は \((x-1)\) を因数にもちます。
\[h(x)-f(x)=\frac12(x-1)^2\]
\[g(x)-h(x)=-\frac12(x-1)^3\]
（ソ＝②、タ＝⑦）
\(0\le x\le1\) では \(0\le1-x\le1\)。1以下の数は三乗すると二乗以下になるので、積分しなくても \(M_1>M_2\) と分かります。
\(M_1=\dfrac16>M_2=\dfrac18\)（チ＝②）
要点まとめ
- 共有点の方程式は割らずにくくる。\(2x\) の範囲は \(0\le2x\le4\pi\)。
- \(2^k=t\)（\(0<t<2\)）とおくと面積は \(t\) の3次関数。Q は \(\log_2(x+2)=2k\)。
- \(\dfrac{S}{T}\) は \(\dfrac1a=t\)（\(0<t<1\)）の3次関数で、\(a=\sqrt3\) で最大。
- 接線との差は \((x-1)\) の累乗。二乗と三乗の大小で \(M_1>M_2\)。
