数学B【群数列②】分数の列は分母で区切る

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

ばらばらに見える分数の列も、分母で区切ると群数列になり、規則が一気に見やすくなります。 「何番目か」を求めるときは群の項数の合計を数え、「第100項は何か」を求めるときは 何群の何番目かを不等式ではさんで決めます。

この回で扱う問題

方針 ― 分母で区切って群数列としてとらえる

分母が同じものどうしで区切ります。

\[\frac{1}{2}\ \Big|\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3}\ \Big|\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4}\ \Big|\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5}\ \Big|\ \cdots\]

奇数を区切った群数列と同じく、全体の番号と群の中の番号の2つを行き来します。 ただし今回は、全体の数列は等差数列ではありません。値は「群の中の何番目か」から読み取ります。

(1) 7/10 は第何項か

分母が \(10\) なので第 \(9\) 群。分子が \(7\) なので、その群の \(7\) 番目です。

第 \(9\) 群の前には第 \(1\) 群から第 \(8\) 群まで、項数 \(1,\ 2,\ \cdots,\ 8\) 個があります。

\[1+2+\cdots+8+7=\sum_{k=1}^{8}k+7\]

\[=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 9+7=43\]

(2) 第100項

今度は逆向きです。「全体で \(100\) 番目」を「第何群の何番目」に直します。

第 \(100\) 項が第 \(n\) 群に入っているとすると、第 \(n-1\) 群までの項数より大きく、第 \(n\) 群までの項数以下です。

\[1+2+\cdots+(n-1)\lt 100\le 1+2+\cdots+n\]

\[\sum_{k=1}^{n-1}k\lt 100\le \sum_{k=1}^{n}k\]

\(\frac{1}{2}n(n+1)\) を \(n=13,\ 14\) で計算すると

\[\sum_{k=1}^{13}k=91,\qquad \sum_{k=1}^{14}k=105\]

\(91\lt 100\le 105\) なので、これを満たすのは \(n=14\)。第 \(100\) 項は第 \(14\) 群に入っています。

第 \(13\) 群までに \(91\) 項並ぶので、第 \(14\) 群は \(a_{92}\) から始まります。

\[100-91=9\]

第 \(100\) 項は第 \(14\) 群の \(9\) 番目。第 \(14\) 群は分母 \(15\) なので

\[a_{100}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\]

※ 数列の中では \(\frac{9}{15}\) のまま並んでいますが、値としては約分して \(\frac{3}{5}\) です。

つまずきポイント