数学B【群数列】群の番号を全体の番号に直す

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

数列をルールに従ってグループ（群）に区切ったものを群数列といいます。 群数列の問題は、「第何群の何番目」を「全体で何番目」に言いかえれば、ふつうの数列の問題に戻ります。 今回は正の奇数を区切った群数列で、第 \(n\) 群の初項と、群の中の項の総和を求めます。

この回で扱う問題

方針 ― 「全体」と「群の中」の2つの数列を見る

群数列には、見るべき数列が2つあります。

• (1)(2) で欲しいのは全体の数列の項。初項と公差は分かっているので、足りないのは「全体で何番目か」だけです。
• (3) は群の中の等差数列の和。和に必要なのは初項・末項・項数の3つです。

(1) 第8群の初項

第 \(8\) 群の前には、第 \(1\) 群から第 \(7\) 群までがあり、項数は \(1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 7\) 個です。 その合計に \(1\) を足せば、第 \(8\) 群の初項が全体で何番目かが分かります。

\[1+2+\cdots+7+1=\sum_{k=1}^{7}k+1\]

\[=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8+1=29\]

第 \(8\) 群の初項は全体で \(29\) 番目の項です。全体は初項 \(1\)、公差 \(2\) の等差数列だから

\[a_{29}=1+(29-1)\cdot 2=57\]

(2) 第n群の初項

(1) と同じ考え方を、\(8\) を \(n\) に変えて行います。第 \(n\) 群の前には第 \(1\) 群から第 \(n-1\) 群までがあり、 項数は \(1,\ 2,\ \cdots,\ n-1\) 個です。

\[1+2+\cdots+(n-1)+1=\sum_{k=1}^{n-1}k+1\]

\[=\frac{1}{2}(n-1)n+1\]

シグマの公式 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)\) の \(n\) を \(n-1\) に置きかえて使っています。 第 \(n\) 群の初項は全体で \(\frac{1}{2}(n-1)n+1\) 番目。全体の一般項に入れて

\[1+\left\{\frac{1}{2}(n-1)n+1-1\right\}\times 2\]

\[=1+(n-1)n=n^{2}-n+1\]

検算：\(n=8\) で \(64-8+1=57\)。(1) と一致します。\(n=1\) でも \(1\) になり、第 \(1\) 群の初項と合っています。

(3) 第n群の項の総和

第 \(n\) 群には \(n\) 個の項があり、(2) より初項は \(n^{2}-n+1\)。あとは末項が分かれば、等差数列の和の公式が使えます。

第 \(n\) 群の末項のすぐ後ろは、第 \(n+1\) 群の初項です。全体は公差 \(2\) なので、1つ前に戻るには \(2\) を引けばよい。

第 \(n+1\) 群の初項は、(2) の式の \(n\) を \(n+1\) に置きかえたものです。

\[(\text{第 }n\text{ 群の末項})=(n+1)^{2}-(n+1)+1-2\]

\[=n^{2}+2n+1-n-1+1-2=n^{2}+n-1\]

等差数列の和 \(=\dfrac{1}{2}\times(\text{項数})\times(\text{初項}+\text{末項})\) より

\[\frac{1}{2}\cdot n\left\{(n^{2}-n+1)+(n^{2}+n-1)\right\}\]

\[=\frac{1}{2}\cdot n\cdot 2n^{2}=n^{3}\]

検算：\(n=2\) で \(3+5=8=2^{3}\)、\(n=3\) で \(7+9+11=27=3^{3}\)。きれいに立方数になります。

つまずきポイント