数学B【等差×等比型の和】ずらして引けば等比数列

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

\((2k-1)\cdot 3^{k-1}\) のように、等差数列と等比数列の積の和には、そのまま使える公式がありません。 手は1つ。\(S_n-rS_n\) を考える。公比 \(r\) 倍すると項が1つ右にずれるので、 縦にそろえて引けば、真ん中が等比数列の和に変わります。

この回で扱う問題

方針 ― 公式がないなら、消せる形を作る

(1) は \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)\cdot 3^{k-1}\)。前の部分 \(1,\ 3,\ 5,\ \cdots\) は公差 \(d=2\) の等差、 後ろの部分 \(1,\ 3,\ 3^{2},\ \cdots\) は公比 \(r=3\) の等比。等差×等比の型です。

うまく消せないか？　知っている公式（等比数列の和）に持ち込むために、\(rS_n\) を利用します。

(1) \(S_n-3S_n\) を計算する

\(S_n\) と、それを3倍した \(3S_n\) を、\(3\) の指数がそろうように1つずらして書きます。

\[\begin{aligned} S_n&=1\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 3^{2}+\cdots+(2n-1)\cdot 3^{n-1}\\ 3S_n&=\phantom{1\cdot 1+{}}1\cdot 3+3\cdot 3^{2}+\cdots+(2n-3)\cdot 3^{n-1}+(2n-1)\cdot 3^{n} \end{aligned}\]

上から下を引くと、同じ指数の項の係数の差は、いつも公差 \(2\)。

\[-2S_n=1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+\cdots+2\cdot 3^{n-1}-(2n-1)\cdot 3^{n}\]

真ん中の \(2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+\cdots+2\cdot 3^{n-1}\) は、初項 \(6\)、公比 \(3\)、項数 \(n-1\) の等比数列の和です。

\[-2S_n=1+\frac{6(3^{n-1}-1)}{3-1}-(2n-1)\cdot 3^{n}\]

\[=1+3(3^{n-1}-1)-(2n-1)\cdot 3^{n}=1+3^{n}-3-2n\cdot 3^{n}+3^{n}\]

\[=(2-2n)\cdot 3^{n}-2=2(1-n)\cdot 3^{n}-2\]

両辺を \(-2\) で割って

検算：\(n=2\) なら \(S_2=1+9=10\)。式は \(1\cdot 9+1=10\)。合っています。

(2) 同じ流れで \(S_n-2S_n\)

今度は公比 \(2\)、公差 \(1\)。\(2S_n\) を1つずらして書きます。

\[\begin{aligned} S_n&=1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 2^{2}+\cdots+n\cdot 2^{n-1}\\ 2S_n&=\phantom{1\cdot 1+{}}1\cdot 2+2\cdot 2^{2}+\cdots+(n-1)\cdot 2^{n-1}+n\cdot 2^{n} \end{aligned}\]

引くと、係数の差はすべて \(1\)。

\[-S_n=1+2+2^{2}+\cdots+2^{n-1}-n\cdot 2^{n}\]

今回は \(1\) から始まる初項 \(1\)、公比 \(2\)、項数 \(n\) の等比数列になります。

\[-S_n=\frac{1\cdot(2^{n}-1)}{2-1}-n\cdot 2^{n}=2^{n}-1-n\cdot 2^{n}=(1-n)\cdot 2^{n}-1\]

検算：\(n=3\) なら \(S_3=1+4+12=17\)。式は \(2\cdot 8+1=17\)。合っています。

つまずきポイント