共テ数学ⅡBC 第7回【第1問】sin x cos x と cos²x は2倍角で直し、共有点は因数分解で求める ― 三角関数

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

\(\sin x\cos x\) や \(\cos^2x\) のままでは、グラフの形も周期も見えません。 2倍角の公式で \(\sin 2x\)、\(\cos 2x\) の1次式に直すのが第一歩です。 2つのグラフの共有点は、方程式を割らずに因数分解して、解を1つも落とさずに求めます。

この回で扱う問題

方針 ― 2倍角で1次式に直す

• \(\sin x\cos x=\dfrac12\sin 2x\)、\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\)。
• \(y=\sin px\) の周期は \(\dfrac{2\pi}{p}\)。
• 共有点は「\(f(x)=g(x)\) の解」。両辺を三角関数で割らず、くくって因数分解する。

(1) グラフを選ぶ（ア・イ）

2倍角の公式から

\[f(x)=\frac12\sin 2x\]

\[g(x)=\frac12\cos 2x+\frac12\]

\(y=f(x)\) は原点から上がり、高さ \(\dfrac12\)、周期 \(\pi\) の波。\(y=g(x)\) は \(y=1\) から始まり、0 と 1 の間を周期 \(\pi\) で往復します。

(2) 周期（ウ）

\(\sin 2x\) の周期は \(\dfrac{2\pi}{2}=\pi\) です。

(3) 共有点の x 座標の総和（エ・オ）

共有点の \(x\) 座標は、次の方程式の解です。

\[\sin x\cos x=\cos^2x\]

ここで両辺を \(\cos x\) で割ってはいけません。\(\cos x=0\) の解が消えてしまいます。移項してくくります。

\[\cos x(\sin x-\cos x)=0\]

• \(\cos x=0\) のとき \(x=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac32\pi\)
• \(\sin x=\cos x\)、つまり \(\tan x=1\) のとき \(x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac54\pi\)

（\(\cos x=0\) のとき \(\sin x=\pm1\) なので、\(\sin x=\cos x\) の解は \(\cos x\ne 0\) の範囲にあり、\(\tan x=1\) と書きかえてよい。）

4つを足して

\[\frac{\pi}{2}+\frac32\pi+\frac{\pi}{4}+\frac54\pi=\frac72\pi\]

(4) f(2x) と g(x) − 1/2 の共有点（カキ）

\[f(2x)=\sin 2x\cos 2x\]

\[g(x)-\frac12=\frac12\cos 2x\]

なので、方程式 \(\sin 2x\cos 2x=\dfrac12\cos 2x\) を解きます。くくると

\[\cos 2x\left(\sin 2x-\frac12\right)=0\]

\(0\le x\le 2\pi\) なので \(0\le 2x\le 4\pi\)。それぞれの最小の解を調べます。

• \(\cos 2x=0\)：最初は \(2x=\dfrac{\pi}{2}\)、\(x=\dfrac{\pi}{4}\)
• \(\sin 2x=\dfrac12\)：最初は \(2x=\dfrac{\pi}{6}\)、\(x=\dfrac{\pi}{12}\)

つまずきポイント