この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
接点 \(x=5a\) で接する曲線と接線の差は、必ず \((x-5a)^2\) でくくれます。 これを使うと、\(C_1\)・\(C_2\)・\(\ell\) の上下関係がすぐにわかり、面積の差 \(F(t)\) も微分して符号を見るだけで最小値が求まります。
この回で扱う問題
\(f(x)=\dfrac13x^2-\dfrac23ax\)（\(a\gt 1\) の定数）とし、放物線 \(C_1:\ y=f(x)\) 上の点 \(A(5a,\ 5a^2)\) における接線を \(\ell\) とする。
\(f'(5a)=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}a\)、\(\ell:\ y=\dfrac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}ax-\dfrac{\fbox{オカ}}{\fbox{キ}}a^2\)。
\(g(x)=x^3+px^2+qx\) とし、曲線 \(C_2:\ y=g(x)\) は点 A で \(\ell\) と接する。このとき クケ\(a^2+\)コ\(ap+q=a\) かつ サシ\(a^2+\)スセ\(ap+q=\dfrac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}a\)、\(p=-\)チツ\(a+\dfrac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}\)、\(q=\)ナニ\(a^2-\dfrac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}}a\)。
\(0\lt t\lt 5a\) とし、\(C_1\)・\(C_2\)・直線 \(x=t\) で囲まれた部分（\(0\le x\le t\)）の面積を \(S_1\)、\(C_1\)・\(\ell\)・\(y\) 軸・直線 \(x=t\) で囲まれた部分の面積を \(S_2\) とする。\(S_1=\displaystyle\int_0^t\)（ノ）\(dx\)。
直線 \(x=t\) と \(C_1\)、\(C_2\)、\(\ell\) の交点を P、Q、R とし、\(F(t)=S_1-S_2\) とすると \(F'(t)=\)（ハ）、\(F(t)\) は \(t=\dfrac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}\) で最小。
方針 ― 接点の (x − 5a)² でくくる
- \(x=5a\) で接する2つのグラフの差は、\((x-5a)^2\) を因数にもつ。
- \(g\) が \(\ell\) と A で接する ⇔ \(g(5a)=5a^2\) かつ \(g'(5a)=f'(5a)\)。
- \(F(t)=\displaystyle\int_0^t\) の形なら、\(F'(t)\) は中身に \(t\) を入れたもの。
接線 ℓ（ア〜キ）
\(f'(x)=\dfrac23x-\dfrac23a\) より
\[f'(5a)=\frac{10}{3}a-\frac23a=\frac83a\]
\(f(5a)=\dfrac{25}{3}a^2-\dfrac{10}{3}a^2=5a^2\)。接線は
\[y=\frac83a(x-5a)+5a^2=\frac83ax-\frac{25}{3}a^2\]
（ア＝8、イ＝3）、（ウ＝8、エ＝3、オカ＝25、キ＝3）
C₂ が A で ℓ に接する条件（クケ〜ネ）
\(g(5a)=5a^2\)：\(125a^3+25a^2p+5aq=5a^2\)。両辺を \(5a\) で割って
\[25a^2+5ap+q=a\]
\(g'(x)=3x^2+2px+q\)、\(g'(5a)=\dfrac83a\) より
\[75a^2+10ap+q=\frac83a\]
下の式から上の式を引くと \(50a^2+5ap=\dfrac53a\)。\(5a\) で割って \(10a+p=\dfrac13\)。
\[p=-10a+\frac13\]
\[q=a-25a^2-5ap=25a^2-\frac23a\]
（クケ＝25、コ＝5）、（サシ＝75、スセ＝10、ソ＝8、タ＝3）、（チツ＝10、テ＝1、ト＝3）、（ナニ＝25、ヌ＝2、ネ＝3）
3つのグラフの上下関係と S₁（ノ）
どれも \(x=5a\) で接するので、差は \((x-5a)^2\) でくくれます。
\[f(x)-\ell(x)=\frac13(x-5a)^2\]
\[g(x)-\ell(x)=(x-5a)^2\left(x+\frac13\right)\]
（\(g-\ell\) は \(x^3\) の係数が1、定数項が \(\dfrac{25}{3}a^2\) なので、残りの因数は \(x+\dfrac13\)。）2式を引くと
\[g(x)-f(x)=x(x-5a)^2\]
\(0\le x\le t\) ではこれは 0 以上です。
よって \(0\le x\le t\) では \(g\ge f\ge \ell\)。\(C_2\) が上、\(C_1\) が下です。
\[S_1=\int_0^t\{g(x)-f(x)\}\,dx\]
（ノ＝②）
F′(t) と最小値（ハ・ヒ・フ）
\[F(t)=S_1-S_2\]
\[=\int_0^t\{g(x)-f(x)\}\,dx\]
\[\quad-\int_0^t\{f(x)-\ell(x)\}\,dx\]
微分すると、中身に \(t\) を入れたものになります。
\[F'(t)=\{g(t)-f(t)\}-\{f(t)-\ell(t)\}\]
\[=PQ-PR\]
上の因数分解を使うと
\[F'(t)=t(t-5a)^2-\frac13(t-5a)^2\]
\[=(t-5a)^2\left(t-\frac13\right)\]
\(0\lt t\lt 5a\) で \((t-5a)^2\gt 0\) なので、符号は \(t-\dfrac13\) で決まります。\(a\gt 1\) より \(\dfrac13\lt 5a\)。\(t=\dfrac13\) の前後で \(F'(t)\) は負から正に変わるので、ここで最小です。
\(F'(t)=PQ-PR\)（ハ＝③）、\(t=\dfrac13\) で最小（ヒ＝1、フ＝3）
つまずきポイント
- 接する条件を \(g(5a)=5a^2\) だけにする。 傾き \(g'(5a)=\dfrac83a\) も必要。
- \(C_1\) と \(C_2\) の上下を図の印象で決める。 \(g-f=x(x-5a)^2\ge 0\) で確かめる。
- \(F(t)\) を積分してから微分する。 \(\int_0^t\) の微分は中身に \(t\) を入れるだけ。
要点まとめ
- \(f'(5a)=\dfrac83a\)、\(\ell:\ y=\dfrac83ax-\dfrac{25}{3}a^2\)。
- \(p=-10a+\dfrac13\)、\(q=25a^2-\dfrac23a\)。差は \((x-5a)^2\) でくくれる。
- \(S_1=\int_0^t(g-f)dx\)、\(F'(t)=PQ-PR\)
\(\quad=(t-5a)^2\left(t-\dfrac13\right)\)、最小は \(t=\dfrac13\)。
