数学Ⅲα【114】1+x ≦ eˣ を使い回す ― e^(−x²) の積分をはさむ

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

解説動画（音声つき）

\(e^{-x^{2}}\) の積分は、高校範囲では求まりません。それでも値の範囲は決められます。使うのは \(1+x\le e^{x}\) というたった1本の不等式。これを2回使い回します。

この回で扱う問題（大阪教育大）

(1) すべての実数 \(x\) に対して，次の不等式を証明せよ。

(i) \(1+x\le e^{x}\)　　　(ii) \(1-x^{2}\le e^{-x^{2}}\le\dfrac{1}{1+x^{2}}\)

(2) 不等式 \(\displaystyle\frac{2}{3}<\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx<\frac{\pi}{4}\) を証明せよ。

\[f(x)=e^{x}-(1+x),\qquad f'(x)=e^{x}-1\]

\(f'(x)=0\) となるのは \(x=0\)。そこで最小になります。

\(x\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	↘	\(0\)	↗

最小値が \(f(0)=0\) なので、つねに \(f(x)\ge 0\)。

\[1+x\le e^{x}\quad(\text{すべての実数 }x)\]

(i) はすべての実数で成り立ちます。だから \(x\) の場所に何を入れてもよい。ここが発想のポイントです。

\[1+(-x^{2})\le e^{-x^{2}}\quad\Longrightarrow\quad 1-x^{2}\le e^{-x^{2}}\quad\cdots\text{①}\]

\[1+x^{2}\le e^{x^{2}}\]

両辺は正なので、逆数をとると向きが変わります。

\[\frac{1}{1+x^{2}}\ge\frac{1}{e^{x^{2}}}=e^{-x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad e^{-x^{2}}\le\frac{1}{1+x^{2}}\quad\cdots\text{②}\]

①と②を合わせて

\[1-x^{2}\le e^{-x^{2}}\le\frac{1}{1+x^{2}}\]

(1)(ii) の不等式で等号が成り立つのは \(x=0\) だけ。つねには成り立たないので、 \(\displaystyle\int_{0}^{1}\) をつけると \(<\) になります。

\[\int_{0}^{1}(1-x^{2})dx<\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx<\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}}\]

左端は多項式なのでそのまま。

\[\int_{0}^{1}(1-x^{2})dx=\left[x-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\]

右端は \(\bigcirc^{2}+\square^{2}\) 型。\(x=\tan\theta\) と置いて

\[\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta=\frac{\pi}{4}\]

\[\frac{2}{3}<\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx<\frac{\pi}{4}\]

（\(\frac{2}{3}=0.666\cdots\)、\(\frac{\pi}{4}=0.785\cdots\)。ちなみに真の値は \(0.7468\cdots\) で、たしかにこの間にあります。）

(ii) を一から証明しようとする。 \(g(x)=e^{-x^{2}}-(1-x^{2})\) を微分しても示せますが遠回りです。「(i) と形が似ている」→代入で使い回す、が出題意図です。
代入するものを取り違える。 左は \(-x^{2}\)、右は \(x^{2}\)。作りたい形から逆算して決めます。
逆数で向きを変え忘れる。 \(1+x^{2}\le e^{x^{2}}\) の逆数は \(\dfrac{1}{1+x^{2}}\ge e^{-x^{2}}\) です。
\(\le\) のまま結論する。 等号がつねには成り立たないことを述べて \(<\) にします。