この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(\sin(x+1)+\cos(x-1)\) のように、角が和と差の形になっているときは、加法定理で開くと \((\sin 1+\cos 1)(\sin x+\cos x)\) という積にまとまります。 この回は、その変形を \(\sin 3x+\cos x\) にも使い、角を \(2x\) と \(x\) の和と差に分けて方程式を解きます。
この回で扱う問題
関数 \(f(x)=\sin(x+1)+\cos(x-1)\)（\(0\le x\lt 2\pi\)）を積の形に変形し、\(f(x)\) が最大値をとるときの \(x\) を求めよ。
また、方程式 \(\sin 3x+\cos x=0\)（\(0\le x\lt 2\pi\)）の左辺を同様に変形し、解のうち小さい方から3番目の値を求めよ。
方針 ― 和と差に分けて、加法定理
- \(\sin(x+1)\) と \(\cos(x-1)\) を加法定理で開き、\(\sin x\) と \(\cos x\) でくくる。
- \(\sin x+\cos x\) を合成して、最大値をとる \(x\) を出す。
- \(3x=2x+x\)、\(x=2x-x\) と見ると、\(\sin 3x+\cos x\) も同じ形になる。
- 積が 0 なので、どちらかの因数が 0。解を数直線に並べる。
\(f(x)\) を積の形に（ア・イ）
加法定理で開きます。
\[\sin(x+1)=\sin x\cos 1+\cos x\sin 1\]
\[\cos(x-1)=\cos x\cos 1+\sin x\sin 1\]
足して、\(\sin x\) の項と \(\cos x\) の項をそれぞれまとめると、どちらの係数も \(\sin 1+\cos 1\) です。
\[f(x)=(\sin 1+\cos 1)(\sin x+\cos x)\]
（ア＝⓪、イ＝⓪）
最大値をとる \(x\)（ウ）
\(\sin x+\cos x\) を合成すると
\[\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\]
\(0\lt 1\lt \dfrac{\pi}{2}\) なので \(\sin 1\gt 0,\ \cos 1\gt 0\)、つまり \(\sin 1+\cos 1\gt 0\)。 よって \(f(x)\) が最大になるのは \(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1\) のときです。
\(\dfrac{\pi}{4}\le x+\dfrac{\pi}{4}\lt 2\pi+\dfrac{\pi}{4}\) の範囲で \(x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\)。
\[x=\frac{\pi}{4}\]
（ウ＝②）
\(\sin 3x+\cos x\) を同じ形に（エ）
いまの計算で \(1\) と \(x\) を \(\beta\) と \(\alpha\) に置きかえると、次の形が成り立ちます。
\[\sin(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\]
\[=(\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin\beta+\cos\beta)\]
\(\alpha=2x,\ \beta=x\) とすると、\(\alpha+\beta=3x,\ \alpha-\beta=x\) です。
\[\sin 3x+\cos x\]
\[=(\sin 2x+\cos 2x)(\sin x+\cos x)\]
2つのかっこをそれぞれ合成すると、\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) なので
\[\sin 3x+\cos x\]
\[=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\]
（エ＝③）
太郎さんのように \(\sin 3x\) を3倍角の公式で開くと、\(\sin x\) の3次式と \(\cos x\) が混ざり、因数分解しにくくなります。角を和と差に分けるのが近道です。
方程式の解と3番目（オ・カ）
積が 0 なので、どちらかの \(\sin\) が 0 です。
\(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\) のとき。 \(\dfrac{\pi}{4}\le x+\dfrac{\pi}{4}\lt \dfrac{9}{4}\pi\) で、\(x+\dfrac{\pi}{4}=\pi,\ 2\pi\)。
\[x=\frac{3}{4}\pi,\ \frac{7}{4}\pi\]
\(\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\) のとき。 \(\dfrac{\pi}{4}\le 2x+\dfrac{\pi}{4}\lt \dfrac{17}{4}\pi\) で、\(2x+\dfrac{\pi}{4}=\pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ 4\pi\)。
\[x=\frac{3}{8}\pi,\ \frac{7}{8}\pi,\ \frac{11}{8}\pi,\ \frac{15}{8}\pi\]
分母を 8 にそろえると \(\dfrac{3}{4}\pi=\dfrac{6}{8}\pi\)。小さい方から \(\dfrac{3}{8}\pi,\ \dfrac{6}{8}\pi,\ \dfrac{7}{8}\pi,\ \dots\) です。
\[x=\frac{7}{8}\pi\]
（オ＝7、カ＝8）
つまずきポイント
- 3倍角で開いてしまう。 \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x\) を使うと式が3次になって止まりやすい。①の変形を「角の和と差」として読みかえる。
- \(\sin 1+\cos 1\) の符号を確かめない。 係数が負なら最大と最小が入れかわる。\(1\) ラジアンは \(0\) と \(\dfrac{\pi}{2}\) の間なので正。
- \(2x+\dfrac{\pi}{4}\) の範囲を広げ忘れる。 \(x\) が \(0\) から \(2\pi\) なら、\(2x+\dfrac{\pi}{4}\) は \(\dfrac{17}{4}\pi\) 未満まで動き、解は4個ある。
- 並べる順番をまちがえる。 分母が 4 と 8 の解が混ざるので、8 にそろえてから比べる。
要点まとめ
- \(\sin(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\) \(=(\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin\beta+\cos\beta)\)。角が和と差なら加法定理で開いて積にする。
- \(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\) と合成。\(f(x)\) の最大は \(x=\dfrac{\pi}{4}\)。
- \(\sin 3x+\cos x\) \(=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)。積が 0 で解は6個、3番目は \(\dfrac{7}{8}\pi\)。
