第9回（第1〜3問）のうち、差がつく4か所だけを短い動画にまとめました。 各問の全体の解説は、下のリンク先の記事にあります。
第9回（第1〜3問）のうち、定番の計算ではなく数え方・式の形の見方で差がつく4か所だけを集めました。 解き終わったあとの見直しや、試験直前の確認に使ってください。
この記事で扱う4か所
① 第1問〔1〕(ii) 展開すると\(-(2L-s)^2\ge0\)。不等式でも答えは1点（イ）
② 第1問〔2〕 \(0\le2x<3\pi\) に注意して、\(t\) 1つあたりの \(x\) の個数を数える（エ〜カ）
③ 第2問 接線の長さは三平方の定理。円 K の半径・\(\tan\angle\mathrm{RQS}\)・半径の最小（カ〜シ）
④ 第3問 \((x-5a)^2\) でくくって上下関係と \(F'(t)\) の符号を見る（ノ〜フ）
第1問〔1〕(i) の恒等式、第2問の軌跡の直線、第3問の接線 \(\ell\) と \(p,\ q\) の計算は定番の処理なので、ここでは省きます。
① 不等式でも答えは1点（第1問・イ）
\(L=\log_2a\)、\(s=\log_23\) とおくと \(\log_29=2s\)。右辺を移して展開します。
\[(L+2s)^2-5(L^2+s^2)\]
\[=-4L^2+4Ls-s^2=-(2L-s)^2\]
2乗は0以上なので、\(-(2L-s)^2\ge0\) が成り立つのは \(2L-s=0\) のときだけです。「不等式だから範囲になる」と思いこまないことです。
\[\log_2a=\frac12\log_23\]
\(a=\sqrt3\) のただ一つ（イ＝①）
② t 1つあたりの x の個数（第1問・エ〜カ）
\(2\cos^2x=1+\cos2x\) なので、\(t=\cos2x\) とおくと \(y=t^2+t+1\)（ウ＝⑦）。最小は \(t=-\dfrac12\) です。
\(0\le x<\dfrac32\pi\) なので \(0\le2x<3\pi\)。\(\cos2x=-\dfrac12\) となる \(2x\) は \(\dfrac23\pi,\ \dfrac43\pi,\ \dfrac83\pi\) の3つです（エ＝3）。
\(t\) 1つあたりの \(x\) の個数を整理します。
- \(t=1\)：\(2x=0,\ 2\pi\) の2個（\(a=3\) のとき。オ＝2）
- \(-1<t<1\)：3個
- \(t=-1\)：\(2x=\pi\) の1個だけ（\(3\pi\) は範囲に入らない）
\(t\) の個数と \(x\) の個数は違います。\(a=1\) のとき \(t^2+t+1=1\) から \(t=-1,\ 0\) で、\(x\) は \(1+3=4\) 個です。
4個になるのは \(a=1\)（カ＝⑥）
③ 接線の長さは三平方の定理（第2問・カ〜シ）
点から円に引いた接線の長さは、中心までの距離の2乗から半径の2乗を引いてルートです。Q\((2,\ 1)\) のとき
\[\mathrm{QR}^2=\mathrm{OQ}^2-1=5-1=4\]
円 K の半径は 2（カ＝2）
\(\tan\angle\mathrm{RQO}=\dfrac{\mathrm{OR}}{\mathrm{QR}}=\dfrac12\) は半分の角です。\(\angle\mathrm{RQS}\) はその2倍なので、2倍角の公式を使います。
\[\tan\angle\mathrm{RQS}=\frac{2\cdot\frac12}{1-\frac14}=\frac43\]
（キ＝4、ク＝3）
円 K の半径は \(\sqrt{\mathrm{OQ}^2-1}\) なので、OQ が最小のとき半径も最小。Q は直線 \(4x+3y-11=0\) 上を動くので、原点から下ろした垂線の足です。\(k(4,\ 3)\) とおくと \(25k=11\)。
\[\mathrm{Q}\left(\frac{44}{25},\ \frac{33}{25}\right)\]
（ケコ＝44、サシ＝33）
④ (x−5a)² でくくって F′(t)（第3問・ノ〜フ）
\(x=5a\) で接する2つのグラフの差は \((x-5a)^2\) でくくれます。
\[f(x)-\ell(x)=\frac13(x-5a)^2\]
\[g(x)-\ell(x)=(x-5a)^2\left(x+\frac13\right)\]
引くと
\[g(x)-f(x)=x(x-5a)^2\ge0\]
図の印象ではなく、式で上下を確かめるのがポイントです。\(0\le x\le t\) では \(g\ge f\ge\ell\) なので \(S_1=\displaystyle\int_0^t\{g(x)-f(x)\}\,dx\)（ノ＝②）。
\(\displaystyle\int_0^t\) の形は、積分してから微分しなくても、中身に \(t\) を入れるだけです。
\[F'(t)=\{g(t)-f(t)\}-\{f(t)-\ell(t)\}\]
\(F'(t)=\mathrm{PQ}-\mathrm{PR}\)（ハ＝③）
ここでも \((t-5a)^2\) でくくると
\[F'(t)=(t-5a)^2\left(t-\frac13\right)\]
\((t-5a)^2>0\) なので、符号は \(t-\dfrac13\) で決まります。\(t=\dfrac13\) の前後で負から正に変わります。
\(t=\dfrac13\) のとき最小（ヒ＝1、フ＝3）
要点まとめ
- マイナス2乗が0以上なら、等号の1点だけ。\(a=\sqrt3\)。
- \(0\le2x<3\pi\)。\(t\) 1つあたりの \(x\) の個数を数え、端の \(t\) では少なくなる。
- 接線の長さは三平方の定理。\(\dfrac12\) は半分の角、半径の最小は垂線の足。
- 接点の \((x-5a)^2\) でくくって上下と \(F'(t)\) の符号を見る。
