この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
直線に関して対称な点は、垂線の足を2倍してもとの点を引くと表せます。 足の位置は内積で決まり（正射影）、\(\overrightarrow{ED}\) と \(\overrightarrow{BC}\) の係数を比べれば平行の条件が出ます。最後は2直線の交点を、2通りに表して係数を比べます。
この回で扱う問題
\(AB=3\)、\(AC=x\)、\(\cos A=\dfrac13\) の \(\triangle ABC\) がある。直線 AC に関して点 B と対称な点を D、直線 AB に関して点 C と対称な点を E とする。\(\overrightarrow{AB}=\vec b\)、\(\overrightarrow{AC}=\vec c\) とおく。
(1) \(\vec b\cdot\vec c=\) ア（⓪ \(x\) ① \(\frac x3\) ② \(\frac x9\) ③ \(\frac1x\) ④ \(\frac3x\) ⑤ \(\frac9x\)）
(2) 直線 AB と線分 CE の交点を H とし \(\overrightarrow{AH}=s\vec b\)。\(AB\perp CH\) から \(s=\) イ、\(\overrightarrow{AE}=\) ウ（⓪ \(x\vec b-\vec c\) ① \(2x\vec b-\vec c\) ② \(\frac x3\vec b-\vec c\) ③ \(\frac{2x}3\vec b-\vec c\) ④ \(\frac x9\vec b-\vec c\) ⑤ \(\frac{2x}9\vec b-\vec c\)）。直線 AC と線分 BD の交点を I とし \(\overrightarrow{AI}=t\vec c\)。\(t=\) エ、\(\overrightarrow{AD}=\) オ（⓪ \(-\vec b+\frac1x\vec c\) ① \(-\vec b+\frac2x\vec c\) ② \(-\vec b+\frac3x\vec c\) ③ \(-\vec b+\frac6x\vec c\) ④ \(-\vec b+\frac9x\vec c\) ⑤ \(-\vec b+\frac{18}x\vec c\)）。イ・エは(1)と同じ選択肢。
(3) \(BC\parallel ED\) のとき \(\overrightarrow{ED}=k\overrightarrow{BC}\) となる実数 \(k\) があり、\(x=\) カ、\(k=\dfrac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}\)。このとき、直線 BC に関して点 A と対称な点を F、直線 DF と直線 CE の交点を P とすると
\(\overrightarrow{AP}=\dfrac{\fbox{ケ}}{\fbox{コサ}}\vec b+\dfrac{\fbox{シス}}{\fbox{セソ}}\vec c\)。点 P は \(\triangle ABC\) の タ（⓪ 周上 ① 内部 ② 外部）にある。
方針 ― 足を2倍して引く
- H は C から AB に下ろした垂線の足で、CE の中点。\(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}\)。
- 足の位置は \(\overrightarrow{CH}\cdot\vec b=0\) で決まる。
- 平行は「係数の比が等しい」。交点は2通りに表して係数比較。
(1) 内積（ア）
\[\vec b\cdot\vec c=|\vec b||\vec c|\cos A=3\cdot x\cdot\frac13=x\]
（ア＝⓪）
(2) 足 H と対称な点 E（イ・ウ）
\(\overrightarrow{CH}=s\vec b-\vec c\) が \(\vec b\) と垂直なので
\[(s\vec b-\vec c)\cdot\vec b=9s-x=0\]
\[s=\frac x9\]
H は CE の中点なので \(\overrightarrow{AH}=\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}}2\)。
\[\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AH}-\vec c=\frac{2x}9\vec b-\vec c\]
\(s=\dfrac x9\)（イ＝②）、\(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2x}9\vec b-\vec c\)（ウ＝⑤）
(2) 足 I と対称な点 D（エ・オ）
同じように \(\overrightarrow{BI}=t\vec c-\vec b\) が \(\vec c\) と垂直なので
\[(t\vec c-\vec b)\cdot\vec c=x^2t-x=0\]
\[t=\frac1x\]
\[\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}-\vec b=-\vec b+\frac2x\vec c\]
\(t=\dfrac1x\)（エ＝③）、\(\overrightarrow{AD}=-\vec b+\dfrac2x\vec c\)（オ＝①）
(3) 平行の条件（カ〜ク）
\[\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}\]
\[=-\left(1+\frac{2x}9\right)\vec b+\left(1+\frac2x\right)\vec c\]
\(\overrightarrow{BC}=-\vec b+\vec c\) なので、\(\vec b\) と \(\vec c\) の係数の大きさが等しければ平行です。
\[1+\frac{2x}9=1+\frac2x\ \Longrightarrow\ x^2=9\]
\(x\gt0\) より \(x=3\)。このとき \(k=1+\dfrac23=\dfrac53\)。
\(x=3\)（カ＝3）、\(k=\dfrac53\)（キ／ク＝5／3）
(3) 交点 P（ケ〜ソ）
\(x=3\) なので \(AB=AC\)。F は A を BC に関して折り返した点で、ひし形 ABFC の頂点です。
\[\overrightarrow{AF}=\vec b+\vec c,\quad \overrightarrow{AD}=-\vec b+\frac23\vec c\]
\[\overrightarrow{AE}=\frac23\vec b-\vec c\]
P は直線 DF 上：\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+u\,\overrightarrow{DF}\)
\(\quad=(2u-1)\vec b+\left(\dfrac23+\dfrac u3\right)\vec c\)
P は直線 CE 上：\(\overrightarrow{AP}=\vec c+v\,\overrightarrow{CE}\)
\(\quad=\dfrac23v\,\vec b+(1-2v)\vec c\)
\(\vec b\)、\(\vec c\) は1次独立なので係数を比べます。
\[2u-1=\frac23v,\quad \frac23+\frac u3=1-2v\]
これを解くと \(u=\dfrac{10}{19}\)、\(v=\dfrac3{38}\)。
\[\overrightarrow{AP}=\frac1{19}\vec b+\frac{16}{19}\vec c\]
（ケ＝1、コサ＝19、シス＝16、セソ＝19）
(3) P の位置（タ）
係数がどちらも正で、和が \(\dfrac1{19}+\dfrac{16}{19}=\dfrac{17}{19}\lt1\)。だから P は \(\triangle ABC\) の内部にあります（C のすぐ近く）。
内部（タ＝①）
つまずきポイント
- 対称な点を \(\overrightarrow{AH}\) の2倍だけにする。 \(2\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}\) と、もとの点を引く。
- 平行を「係数が等しい」だけで考える。 \(\overrightarrow{BC}=-\vec b+\vec c\) なので、係数の比が \(-1:1\)。
- 内部の判定で和を見落とす。 係数が正で、和が1未満なら内部。
要点まとめ
- \(\vec b\cdot\vec c=x\)。足は \(s=\dfrac x9\)、\(t=\dfrac1x\)。
- \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2x}9\vec b-\vec c\)、\(\overrightarrow{AD}=-\vec b+\dfrac2x\vec c\)。
- \(ED\parallel BC\) で \(x=3\)、\(k=\dfrac53\)。\(\overrightarrow{AP}=\dfrac1{19}\vec b+\dfrac{16}{19}\vec c\) で内部。
