この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(\alpha^2+\beta^2=\alpha\beta\) のように、すべての項が2次の式は両辺を \(\beta^2\) で割ると、\(\dfrac{\alpha}{\beta}\) の2次方程式になります。 そして \(\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{\alpha-0}{\beta-0}\) は「原点を中心に、点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) に動かす」回転と倍率を表す式。 \(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\) が出てきたら、△OAB は正三角形です。
この回で扱う問題
複素数平面上で、\(\mathrm{A}(\alpha)\)、\(\mathrm{B}(\beta)\) は \(\alpha^2+\beta^2=\alpha\beta\)、\(|\alpha-\beta|=3\) を満たす \(\mathrm{O}(0)\) と異なる複素数を表す点とする。
(1) \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) を求めよ。
(2) \(\alpha\) の絶対値を求めよ。
(3) △OAB の面積を求めよ。
（早稲田大）
方針 ― α/β をどう見るか
- 2次の項だけの式 → 両辺を \(\beta^2\) で割って、\(\dfrac{\alpha}{\beta}\) の2次方程式。
- \(\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{\alpha-0}{\beta-0}\) とみると、原点中心で点 \(\beta\) が点 \(\alpha\) に動く式。絶対値が倍率、偏角が回転の角。
- \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) は「3点 O、A、B の関係を表す式」です。
(1) β² で割って 2次方程式
\(\beta\ne 0\) なので、\(\alpha^2+\beta^2=\alpha\beta\) の両辺を \(\beta^2\) で割ると
\[\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2+1=\frac{\alpha}{\beta}\]
\[\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2-\frac{\alpha}{\beta}+1=0\]
解の公式で
\[\frac{\alpha}{\beta}=\frac{1\pm\sqrt3\,i}{2}\]
(2) 極形式で読む → 正三角形
(1) の結果を極形式にすると
\[\frac{\alpha}{\beta}=\cos\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)\]
（複号同順）。よって
\[\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|=1,\quad \arg\frac{\alpha}{\beta}=\pm\frac{\pi}{3}\]
つまり \(|\alpha|=|\beta|\)（OA ＝ OB）で、\(\angle\mathrm{BOA}=\dfrac{\pi}{3}\)。△OAB は正三角形です。
さらに \(|\alpha-\beta|=3\) より BA ＝ 3。正三角形なので OA ＝ 3。
\[|\alpha|=3\]
(3) 正三角形の面積
△OAB は1辺 3 の正三角形なので
\[\frac12\cdot3\cdot3\cdot\sin\frac{\pi}{3}=\frac{9\sqrt3}{4}\]
つまずきポイント
- \(\alpha\)、\(\beta\) をそれぞれ求めようとする。 条件は2つでも未知の複素数は2つ（実数で4つ）。求めるのは比 \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) です。
- \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) を数で終わらせる。 極形式にして「倍率 1、回転 \(\pm\dfrac{\pi}{3}\)」と図に読みかえるのが (2)(3) の鍵。
- 複号の片方だけ考える。 \(-\dfrac{\pi}{3}\) でも図は折り返すだけで、正三角形は同じ。
要点まとめ
- 2次の項だけの式は、両辺を \(\beta^2\) で割って \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) の方程式に。
- \(\dfrac{\alpha-0}{\beta-0}\)：原点中心に、点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) に動かす（絶対値＝倍率、偏角＝回転）。
- \(\dfrac{\alpha}{\beta}=\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\) なら正三角形。1辺 3 なら \(|\alpha|=3\)、面積 \(\dfrac{9\sqrt3}{4}\)。
