この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(\theta=\dfrac{2\pi}{n}\) のとき \(z=\cos\theta+i\sin\theta\) は \(z^n=1\) を満たします。 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}z^k\) は等比数列の和で 0。ド・モアブルの定理で実部と虚部に分けると、\(\cos\) の和も 0 とわかります。 \(\cos^2\) の和は半角（倍角）の公式で次数を下げ、同じ考えを \(z^2\) に使います。
この回で扱う問題
\(n\) を 3 以上の自然数とし、\(\theta=\dfrac{2\pi}{n}\) とする。\(z=\cos\theta+i\sin\theta\) を考える。
(1) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}z^k\) を求めよ。
(2) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\cos k\theta\) を求めよ。
(3) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\cos^2 k\theta\) を \(n\) で表せ。
（龍谷大）
方針 ― 等比の和 → 実部をとる
- \(z^n=\cos2\pi+i\sin2\pi=1\)。\(z\ne1\) なので、等比数列の和の公式が使える。
- ド・モアブルの定理で \(z^k=\cos k\theta+i\sin k\theta\)。和の実部が \(\cos\) の和。
- \(\cos^2k\theta=\dfrac{1+\cos2k\theta}{2}\) で次数を下げ、\(z^2\) の等比の和を使う。
(1) 等比数列の和
\[\sum_{k=1}^{n}z^k=z+z^2+\cdots+z^n\]
は、初項 \(z\)、公比 \(z\)、項数 \(n\) の等比数列の和です。\(n\ge3\) より \(0\lt\theta\lt2\pi\) なので \(z\ne1\)。よって
\[\sum_{k=1}^{n}z^k=\frac{z(1-z^n)}{1-z}\]
ここで、ド・モアブルの定理より
\[z^n=\cos2\pi+i\sin2\pi=1\]
\[\sum_{k=1}^{n}z^k=\frac{z(1-1)}{1-z}=0\]
(2) 実部をとる
ド・モアブルの定理より \(z^k=\cos k\theta+i\sin k\theta\) なので
\[\sum_{k=1}^{n}z^k=\sum_{k=1}^{n}\cos k\theta+i\sum_{k=1}^{n}\sin k\theta\]
(1) よりこれが 0。実部も虚部も 0 です。
\[\sum_{k=1}^{n}\cos k\theta=0\]
（同時に \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sin k\theta=0\) もわかります。）
(3) 次数を下げて z² で同じことをする
倍角の公式から
\[\sum_{k=1}^{n}\cos^2k\theta=\sum_{k=1}^{n}\frac{1+\cos2k\theta}{2}\]
\[=\frac12\left(n+\sum_{k=1}^{n}\cos2k\theta\right)\]
\(z^{2k}=\cos2k\theta+i\sin2k\theta\) なので、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\cos2k\theta\) は \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}z^{2k}\) の実部です。
\(z^2=\cos\dfrac{4\pi}{n}+i\sin\dfrac{4\pi}{n}\)。\(n\ge3\) より \(0\lt\dfrac{4\pi}{n}\lt2\pi\) なので \(z^2\ne1\)。公比 \(z^2\) の等比数列の和で
\[\sum_{k=1}^{n}z^{2k}=\frac{z^2\left(1-z^{2n}\right)}{1-z^2}=\frac{z^2(1-1)}{1-z^2}=0\]
実部をとって \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\cos2k\theta=0\)。したがって
\[\sum_{k=1}^{n}\cos^2k\theta=\frac n2\]
つまずきポイント
- 公比が 1 でないことを確かめない。 等比数列の和の公式は \(z\ne1\) のときだけ。\(n\ge3\) から \(z\ne1\)、\(z^2\ne1\) が言える。
- \(z^n=1\) を使い忘れる。 ド・モアブルの定理で \(z^n=\cos2\pi+i\sin2\pi=1\)。
- \(\cos^2\) をそのまま \(z\) で表そうとする。 まず倍角の公式で1次にする。
- \(n=2\) でも同じ答えと思う。 \(n=2\) だと \(z^2=1\) で (3) の公式が使えず、実際 \(\cos^2\pi+\cos^22\pi=2\ne1\)。
要点まとめ
- \(z=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}\) は \(z^n=1\)、\(z\ne1\)。
- \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}z^k=\frac{z(1-z^n)}{1-z}=0\)。
- ド・モアブルで実部と虚部に分けると \(\displaystyle\sum\cos k\theta=0\)、\(\displaystyle\sum\sin k\theta=0\)。
- \(\cos^2\) は倍角の公式で次数を下げ、\(z^2\) の等比の和で \(\displaystyle\sum\cos^2k\theta=\frac n2\)。
