共テ数学ⅡBC 第2回【第5問】区間推定と仮説検定を正規分布で ― 統計的な推測

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

標本平均 \(\overline{X}\) は、母集団が何であっても、標本が大きければほぼ正規分布に従います。 平均は母平均 \(m\) のまま、ばらつきは \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) に縮む。この1点から、信頼区間も仮説検定も組み立てられます。 この回は、同じ \(\overline{X}\) の分布を2通りに使う問題です。

この回で扱う問題

方針 ― \(\overline{X}\) の分布を決める

• 標本の大きさ \(n=49\) が大きいので、\(\overline{X}\) は近似的に平均 \(m\)、標準偏差 \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{49}}=\dfrac{\sigma}{7}\) の正規分布。
• (1) 母標準偏差 \(\sigma\) は標本の標準偏差 4.0 で代用して、\(\overline{X}\pm 1.96\times\)標準偏差。
• (2) 前半は、正規分布表で「平均±0.5σ に入る割合」を読む。後半は、帰無仮説のもとで \(Z\) を作り、両側の確率を調べる。

(1) \(\overline{X}\) の分布と信頼区間（ア・イ・ウ〜ク）

\(\overline{X}\) は、平均 \(m\)（ア＝⓪）、標準偏差 \(\dfrac{\sigma}{7}\)（イ＝⑦）の正規分布に近似的に従います。

\(\sigma\approx 4.0\) とすると、標準偏差は \(\dfrac{4.0}{7}\)。正規分布表から、95%を挟む幅は \(1.96\) 倍です。

\[28.6-1.96\times\frac{4.0}{7}\le m\le 28.6+1.96\times\frac{4.0}{7}\]

\(1.96\times\dfrac{4.0}{7}=1.96\times 0.5714\cdots=1.12\)。よって

共通テストの空欄は小数第1位までなので、ここは四捨五入して答えます（\(27.48\to 27.5\)、\(29.72\to 29.7\)）。

(2) K県の高校生の総数（ケコ）

\(X\) は平均30.0、標準偏差4.0。\(28.0\le X\le 32.0\) は、平均から±2.0分＝±0.5σの範囲です。

正規分布表（\(0\le Z\le z_0\) の面積）で \(z_0=0.50\) は \(0.1915\)。両側で \(0.1915\times 2=0.3830\)。

総数を \(N\) 人とすると \(0.3830\,N=76600\)、\(N=200000\)。

(2) 仮説検定の組み立て（サ〜セ）

A高校の母平均 \(m\) と、K県の平均30.0分に差があるかを調べます。「差がある」を示したいので、差がないを帰無仮説にします。

• 帰無仮説：A高校の母平均は 30.0 分である（サ＝①）
• 対立仮説：A高校の母平均は 30.0 分ではない（シ＝⑤）

帰無仮説が正しいとすると、\(\overline{X}\) は近似的に平均 30.0（ス＝②）、標準偏差 \(\dfrac{4.0}{7}=\)\(\dfrac{4}{7}\)（セ＝⑤）の正規分布に従い、

\[Z=\frac{\overline{X}-30.0}{\dfrac{4}{7}}\]

は標準正規分布に従います。

(2) \(Z\) の値と判定（ソタチツ・テ）

標本平均28.6から

\[z=\frac{28.6-30.0}{\dfrac{4}{7}}=\frac{-1.4\times 7}{4}=-2.45\]

対立仮説が「ではない」の両側検定なので、次の確率を求めます。

\[P(Z\le -|z|)+P(Z\ge |z|)=2\,P(Z\ge 2.45)\]

表から \(P(0\le Z\le 2.45)=0.4929\)。

\[2\times(0.5-0.4929)=0.0142\]

（ソタチツ＝0.0142）

この確率 \(0.0142\) は有意水準 \(0.05\) より小さいので、帰無仮説は棄却されます。

ちなみに (1) の信頼区間 \(27.5\le m\le 29.7\) は 30.0 を含みません。信頼度95%の区間に30.0が入らないことと、有意水準5%で棄却されることは、同じことの言いかえです。

つまずきポイント