この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。
\(\sin\theta-\cos\theta\) と \(\sin 2\theta\) は、2乗でつながっています。 \(\sin\theta-\cos\theta=t\) とおけば、\(\sin 2\theta\) も \(t\) で書ける。 三角関数の不等式が、\(t\) の2次不等式に変わります。 気をつけるのは、\(t\) のとり得る範囲と、最後に \(\theta\) へ戻すときの角の範囲です。
この回で扱う問題
\(0\le\theta\lt 2\pi\) のとき、不等式
\[\sqrt{2}\sin 2\theta-5\sin\theta+5\cos\theta\lt 3\sqrt{2}\qquad\cdots\cdots ①\]
を解け。\(t=\sin\theta-\cos\theta\) とおく。
方針 ― 全部を t で書く
- \(\sin 2\theta\) を \(t\) の式にする（2乗して \(\sin\theta\cos\theta\) を出す）。
- \(t\) を合成して、\(t\) のとり得る範囲を求める。
- ① を \(t\) の不等式にして解き、範囲と共通部分をとる。
- \(t\) の範囲を \(\theta\) の範囲に直す。
① \(\sin 2\theta\) を t で表す（ア）
\(t=\sin\theta-\cos\theta\) の両辺を2乗すると
\[t^2=\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=1-\sin 2\theta\]
よって
\[\sin 2\theta=1-t^2\qquad(\text{ア}=1)\]
② t のとり得る値の範囲（イ・ウ・エ）
三角関数の合成より
\[t=\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)\qquad(\text{イ}=2,\ \text{ウ}=4)\]
\(0\le\theta\lt 2\pi\) のとき \(\theta-\dfrac{\pi}{4}\) は \(-\dfrac{\pi}{4}\) から \(\dfrac{7}{4}\pi\)（含まない）まで動き、ほぼ1周するので \(-1\le\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\le 1\) の両端に届きます。
\[-\sqrt{2}\le t\le\sqrt{2}\qquad(\text{エ}=2)\]
③ ① を t の不等式にして解く（オ・カ・キ）
\(-5\sin\theta+5\cos\theta=-5t\) なので、① は
\[\sqrt{2}(1-t^2)-5t\lt 3\sqrt{2}\]
\[-\sqrt{2}\,t^2-5t-2\sqrt{2}\lt 0\]
両辺に \(-1\) を掛けると、不等号の向きが変わって
\[\sqrt{2}\,t^2+5t+2\sqrt{2}\gt 0\]
因数分解すると
\[\left(\sqrt{2}\,t+1\right)\left(t+2\sqrt{2}\right)\gt 0\qquad(\text{オ}=\sqrt{2},\ \text{カ}=1,\ \text{キ}=2\sqrt{2})\]
確かめ（展開して一致します）：
\[(\sqrt{2}\,t+1)(t+2\sqrt{2})=\sqrt{2}\,t^2+5t+2\sqrt{2}\]
解は \(t\lt -2\sqrt{2}\) または \(t\gt -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)。
④ t の範囲との共通部分（ク・ケ）
\(t\) は \(-\sqrt{2}\le t\le\sqrt{2}\) しか動けません。\(-2\sqrt{2}\) は \(-\sqrt{2}\) より左にあるので、\(t\lt -2\sqrt{2}\) は起こりえない。残るのは
\[-\frac{1}{\sqrt{2}}\lt t\le\sqrt{2}\qquad(\text{ク}=③,\ \text{ケ}=⑥)\]
⑤ θ に戻す（コ〜ソ）
\(t=\sqrt{2}\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\) を入れて、\(\sqrt{2}\) で割ると
\[-\frac{1}{2}\lt \sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)\le 1\]
\(x=\theta-\dfrac{\pi}{4}\) とおくと、\(x\) の範囲は \(-\dfrac{\pi}{4}\le x\lt \dfrac{7}{4}\pi\)。単位円で \(\sin x\gt -\dfrac{1}{2}\)（\(y\) 座標が \(-\dfrac12\) より上）の部分を見ます。
\(x=-\dfrac{\pi}{4}\) からスタートすると、まず \(P_1\)（\(x=-\dfrac{\pi}{6}\)）で \(-\dfrac12\) を超え、\(P_2\)（\(x=\dfrac{7}{6}\pi\)）まで上にいます。終点 \(\dfrac{7}{4}\pi\) は \(P_1\) の手前なので、もう一度緑の弧に入ることはありません。
\[-\frac{\pi}{6}\lt x\lt \frac{7}{6}\pi\]
\(\theta=x+\dfrac{\pi}{4}\) に戻して、各辺に \(\dfrac{\pi}{4}\) を足すと
\[\frac{\pi}{12}\lt \theta\lt \frac{17}{12}\pi\qquad(\text{コサ}=12,\ \text{シス}=17,\ \text{セソ}=12)\]
つまずきポイント
- \(t^2\) の符号。 \(t=\sin\theta-\cos\theta\) の2乗は \(1-\sin 2\theta\)。\(\sin 2\theta=1-t^2\) と、\(t^2\) の前がマイナスになります。\(\sin\theta+\cos\theta\) とおいたときは \(t^2=1+\sin 2\theta\) で、符号が逆です。
- \(t\) の範囲を調べない。 2次不等式の解 \(t\lt -2\sqrt{2}\) は、\(t\) の範囲の外。範囲を調べておけば、すぐに切り捨てられます。
- 両辺に負の数を掛けたとき、不等号を戻し忘れる。 \(-\sqrt{2}\,t^2-5t-2\sqrt{2}\lt 0\) から \(\sqrt{2}\,t^2+5t+2\sqrt{2}\gt 0\) へ。
- \(\theta\) と \(\theta-\dfrac{\pi}{4}\) の範囲を取りちがえる。 \(\sin x\gt -\dfrac12\) を \(0\le x\lt 2\pi\) の感覚で解くと、\(x\lt \dfrac{7}{6}\pi\) または \(x\gt \dfrac{11}{6}\pi\) と書きたくなります。ところが \(x\) の範囲は \(-\dfrac{\pi}{4}\le x\lt \dfrac{7}{4}\pi\) で、\(\dfrac{11}{6}\pi\) には届きません。
- \(\dfrac{\pi}{4}\) を足し忘れる。 最後に \(\theta=x+\dfrac{\pi}{4}\) へ戻す。\(-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{12}\)、\(\dfrac{7}{6}\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{17}{12}\pi\)。
要点まとめ
- \(\sin\theta-\cos\theta=t\) とおくと \(\sin 2\theta=1-t^2\)。2乗してつなぐ。
- \(t=\sqrt{2}\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\) と合成して、\(t\) の範囲を先に求める。
- 不等式は \(t\) の2次不等式 \(\left(\sqrt{2}\,t+1\right)\left(t+2\sqrt{2}\right)\gt 0\)。解と範囲の共通部分をとる。
- \(\theta\) に戻すときは、\(\theta-\dfrac{\pi}{4}\) の範囲で単位円を見る。答えは \(\dfrac{\pi}{12}\lt \theta\lt \dfrac{17}{12}\pi\)。
